Question

如圖，正方形OABC的邊長(zhǎng)是1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（0，

3

2

）．動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，速度是每分鐘3個(gè)單位長(zhǎng)度，直線PM交BC于點(diǎn)Q，當(dāng)直線PM與正方形OABC沒有公共點(diǎn)的時(shí)候，動(dòng)點(diǎn)P就停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求點(diǎn)P從運(yùn)動(dòng)開始到結(jié)束共用了多少時(shí)間？
（2）如果直線PM平分正方形OABC的面積，求直線PM的解析式；
（3）如果正方形OABC被直線PM分成兩部分中的較小部分的面積為

1

3

個(gè)平方單位，求此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得，直線MB與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P結(jié)束運(yùn)動(dòng)的地方；根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求得；
（2）找到正方形的中心N，直線MN即為所求；
（3）此題需要分兩種情況分析，根據(jù)梯形的面積求法，即可求得．

解答：解：（1）連接MB，并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D；
由條件得△MCB∽△MOD
∴

MC

MO

=

BC

DO

∴DO=3，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是1分鐘．

（2）設(shè)正方形的中心是N，那么N（

1

2

，

1

2

），顯然直線MN平分正方形的面積；
設(shè)直線MN的解析式：y=kx+b，把M（O，

3

2

），N（

1

2

，

1

2

）代入得：k=-2，b=

3

2

．
∴直線MN的解析式是y=-2x+

3

2

（3）設(shè)出發(fā)時(shí)間是t分鐘．
討論：①當(dāng)P在線段OA內(nèi)，由第一小題知：OP=3t，CQ=t，
得

(t+3t)×1

2

=

1

3

∴t=

1

6

分鐘．
②由幾何知識(shí)得：當(dāng)P與A重合時(shí)，△PBQ的面積恰好是

1

3

．
此時(shí)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是

1

3

分鐘．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了梯形面積的求法；解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要住別漏解．