Question

某企業(yè)為重慶計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件，受美元走低的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價(jià)格一路攀升，每件配件的原材料價(jià)格y₁（元）與月份x（1≤x≤9，且x取整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
價(jià)格y1（元/件）	560	580	600	620	640	660	680	700	720

隨著國(guó)家調(diào)控措施的出臺(tái)，原材料價(jià)格的漲勢(shì)趨緩，10至12月每件配件的原材料價(jià)格y₂（元）與月份x（10≤x≤12，且x取整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢(shì)：
（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，直接寫(xiě)出y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢(shì)，直接寫(xiě)出y₂與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）若去年該配件每件的售價(jià)為1000元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元，其它成本30元，該配件在1至9月的銷(xiāo)售量p₁（萬(wàn)件）與月份x滿足函數(shù)關(guān)系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整數(shù)）10至12月的銷(xiāo)售量p₂（萬(wàn)件）與月份x滿足函數(shù)關(guān)系式p₂=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整數(shù)）．求去年哪個(gè)月銷(xiāo)售該配件的利潤(rùn)最大，并求出這個(gè)最大利潤(rùn)；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料價(jià)格均比去年12月上漲60元，人力成本比去年增加20%，其它成本沒(méi)有變化，該企業(yè)將每件配件的售價(jià)在去年的基礎(chǔ)上提高a%，與此同時(shí)每月銷(xiāo)售量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少0.1a%．這樣，在保證每月上萬(wàn)件配件銷(xiāo)量的前提下，完成了1至5月的總利潤(rùn)1700萬(wàn)元的任務(wù)，請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù)，估算出a的整數(shù)值．
（參考數(shù)據(jù)：99²=9801，98²=9604，97²=9409，96²=9216，95²=9025）

Answer 1

分析：（1）把表格（1）中任意2點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式可得y₁的解析式．把（10，730）（12，750）代入直線解析式可得y₂的解析式，
（2）分情況探討得：1≤x≤9時(shí)，利潤(rùn)=P₁×（售價(jià)-各種成本）；10≤x≤12時(shí)，利潤(rùn)=P₂×（售價(jià)-各種成本）；并求得相應(yīng)的最大利潤(rùn)即可；
（3）根據(jù)1至5月的總利潤(rùn)1700萬(wàn)元得到關(guān)系式求值即可．

解答：解：（1）設(shè)y₁=kx+b，
則

k+b=560 2k+b=580

，
解得

k=20 b=540

，
∴y₁=20x+540（1≤x≤9，且x取整數(shù)）；
設(shè)y₂=ax+b，則

10a+b=730 12a+b=750

，
解得

a=10 b=630

，
∴y₂=10x+630（10≤x≤12，且x取整數(shù)）；

（2）設(shè)去年第x月的利潤(rùn)為W萬(wàn)元．
1≤x≤9，且x取整數(shù)時(shí)，W=P₁×（1000-50-30-y₁）=-2x²+16x+418=-2（x-4）²+450，
∴x=4時(shí)，W最大=450萬(wàn)元；
10≤x≤12，且x取整數(shù)時(shí)，W=P₂×（1000-50-30-y₂）=（x-29）²，
∴x=10時(shí)，W最大=361萬(wàn)元；
∵450萬(wàn)元＞361萬(wàn)元，
∴4月份利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450萬(wàn)元；

（3）去年12月的銷(xiāo)售量為-0.1×12+2.9=1.7（萬(wàn)件），
今年原材料價(jià)格為：750+60=810（元）
今年人力成本為：50×（1+20%）=60元．
∴5×[1000×（1+a%）-810-60-30]×1.7（1-0.1×a%）=1700，
設(shè)t=a%，整理得10t²-99t+10=0，
解得t=

99± 9401

20

，
∵9401更接近于9409，
∴

9401

≈97，
∴t₁≈0.1，t₂≈9.8，
∴a₁≈10或a₂≈980，
∵1.7（1-0.1×a%）≥1，
∴a≈10．
答：a的整數(shù)解為10．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用；根據(jù)二次函數(shù)的最值及相應(yīng)的取值范圍得到一定范圍內(nèi)的最大值是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)；利用估算求得相應(yīng)的整數(shù)解是解決本題的難點(diǎn)．