【題目】綜合與實踐:

問題情境:在一次綜合實踐活動課上,同學(xué)們以菱形為對象,研究菱形旋轉(zhuǎn)中的問題:

已知,在菱形ABCD中,BD為對角線,,AB=4,將菱形ABCD繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為(單位°).旋轉(zhuǎn)后的菱形為.在旋轉(zhuǎn)探究活動中提出下列問題,請你幫他們解決.

觀察證明:

1)如圖1,若旋轉(zhuǎn)角BD相交于點M,AB相交于點N.請說明線段DM的數(shù)量關(guān)系;

操作計算:

2)如圖2,連接,菱形ABCD旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)AB互相垂直時,的長為 ;

3)如圖3,若旋轉(zhuǎn)角,分別連接,過點A分別作,,連接EF,菱形ABCD旋轉(zhuǎn)的過程中,發(fā)現(xiàn)在中存在長度不變的線段EF,請求出EF長度;

操作探究:

4)如圖4,在(3)的條件下,請判斷以,,三條線段長度為邊的三角形是什么特殊三角形,并說明理由.

【答案】(1),理由見解析;(2);(3)2;(4)以,,三條線段為邊的三角形是直角三角形,理由見解析

【解析】

1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)利用ASA易證得,從而證得

2)證得點在菱形的對角線AC上,即可求解;

3)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明EF的中位線,即可求解;

4)以為邊向外作等邊三角形,利用證得,求得,即可求解.

1,

理由如下:

∵四邊形ABCD是菱形,

AB= AD

∴∠ADB=ABD,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得:,

,

,

中,,

(ASA) ,

;

2)連接菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O,

∵四邊形ABCD是菱形,且,AB=4,

,

,則

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),且AB互相垂直,

,

∴點在菱形ABCD的對角線AC上,

;

3)如圖,連接BD,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:

AED,

(等腰三角形三線合一),同理BF=F

EF的中位線,

,

∵四邊形ABCD是菱形,

AB=AD,

又∵,是等邊三角形,

;

(4)以,三條線段為邊的三角形是直角三角形,

理由如下:

如圖,以為邊向外作等邊三角形,連接DBCM,

∵四邊形ABCD是菱形,,

是等邊三角形,,

由(3)可知:都是等腰三角形,

,

都是等邊三角形,

,,

,

中,

,

,

,

是直角三角形,

即以,,三條線段長度為邊的三角形是直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖①,將拋物線平移到頂點恰好落在直線上,并設(shè)此時拋物線頂點的橫坐標(biāo)為.

1)求拋物線的解析式(用含、的代數(shù)式表示);

2)如圖②,與拋物線交于、三點,軸,,.

①求的面積(用含的代數(shù)式表示);

②若的面積為1,當(dāng)時,的最大值為-3,求的值.

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1)當(dāng)時,求四邊形的面積;

2)當(dāng)為何值時,?

3)當(dāng)為何值時,以點,,為頂點的三角形是等腰三角形?

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【題目】閱讀理解

如圖1,中,沿的平分線折疊,剪掉重疊部分;將余下部分沿的平分線折疊,剪掉重疊部分;……;將余下部分沿的平分線折疊,點與點重合,無論折疊多少次,只要最后一次恰好重合,我們就稱的好角.

情形一:如圖2,沿等腰三角形頂角的平分線折疊,點與點重合;

情形二:如圖3,沿的平分線折疊,剪掉重疊部分;將余下的部分沿的平分線折疊,此時點與點重合.

探究發(fā)現(xiàn)

1中,,經(jīng)過兩次折疊,問 的好角(填寫“是”或“不是”);

2)若經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)的好角,請?zhí)骄?/span>(假設(shè))之間的等量關(guān)系 ;

根據(jù)以上內(nèi)容猜想:若經(jīng)過次折疊的好角,則(假設(shè))之間的等量關(guān)系為 ;

應(yīng)用提升:

3)小麗找到一個三角形,三個角分別為,,,發(fā)現(xiàn) 是此三角形的好角;

4)如果一個三角形的最小角是,且滿足該三角形的三個角均是此三角形的好角;

則此三角形另外兩個角的度數(shù)

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(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;

(3)請計算扇形統(tǒng)計圖中讀書星對應(yīng)的扇形圓心角度數(shù);

(4)根據(jù)調(diào)查結(jié)果,試估計該小學(xué)全校3600名學(xué)生中爭當(dāng)健康星的學(xué)生人數(shù).

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