【題目】以四邊形ABCD的邊AB、BC、CDDA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形,直角頂點分別為EF、G、H,順次連接這四個點,得四邊形EFGH

1)如圖1,當四邊形ABCD為正方形時,我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形;如圖2,當四邊形ABCD為矩形時,請判斷:四邊形EFGH的形狀(不要求證明);

2)如圖3,當四邊形ABCD為一般平行四邊形時,設(shè)∠ADC=αα90°),

試用含α的代數(shù)式表示∠HAE;

求證:HE=HG;

四邊形EFGH是什么四邊形?并說明理由.

【答案】1)答:四邊形EFGH的形狀是正方形.

2)解:①∠HAE=90°+a

在平行四邊形ABCDAB∥CD,

∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣a,

∵△HAD△EAB是等腰直角三角形,

∴∠HAD=∠EAB=45°,

∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣180°﹣a=90°+a,

答:用含α的代數(shù)式表示∠HAE90°+a

證明:∵△AEB△DGC是等腰直角三角形,

∴AE=AB,DC=CD,

在平行四邊形ABCD中,AB=CD,

∴AE=DG

∵△HAD△GDC是等腰直角三角形,

∴∠HDA=∠CDG=45°,

∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE,

∵△HAD是等腰直角三角形,

∴HA=HD,

∴△HAE≌△HDC,

∴HE=HG

答:四邊形EFGH是正方形,

理由是:由同理可得:GH=GF,FG=FE,

∵HE=HG

∴GH=GF=EF=HE,

四邊形EFGH是菱形,

∵△HAE≌△HDG,

∴∠DHG=∠AHE

∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°,

∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°

四邊形EFGH是正方形.

【解析】略

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x

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90

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