【題目】如圖,已知拋物線軸交于點,且經(jīng)過,兩點,點是拋物線頂點,是對稱軸與直線的交點,關于點對稱.

1)求拋物線的解析式;

2)求證:

3)在拋物線的對稱軸上是否存在點,使相似.若有,請求出所有符合條件的點的坐標;若沒有,請說明理由.

【答案】1;(2)見解析;(3)有,

【解析】

1)已知拋物線過B、C兩點,而且兩點的坐標都已得出,可用待定系數(shù)法來求函數(shù)的解析式;

2)由(1)可得拋物線頂點D2,1),直線AC的解析式為yx3,由E是對稱軸與直線AC的交點,可得E點坐標,由FE關于點D對稱,可得F點坐標,從點A、C分別向?qū)ΨQ軸作垂線AM、CN,交對稱軸于M、N,通過證明RtFAMRtFCN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解;

3)在△FDC中,三內(nèi)角不等,且∠CDF為鈍角,分兩種情況:①若點P在點F下方時,②若點P在點F上方時,討論即可求解.

解:(1)將點,代入

解得,,

所以拋物線的解析式為;

2)∵

∴拋物線頂點,

x=0時,y=3,

A0,3),

設直線AC的解析式為y=kx+b

A,C坐標代入得

解得

∴直線的解析式為

是對稱軸與直線的交點,

x=2時,=5

,

關于對稱,則,

從點分別向?qū)ΨQ軸作垂線,交對稱軸于,

AM=2,MF=10,CN=3,NF=15,

所以,

所以

3)在中,三內(nèi)角不等,且為鈍角

若點在點下方時,

中,為鈍角

因為,,

所以不相等

所以,點在點下方時,兩三角形不能相似

若點在點上方時, ,

時,

P2,y

A(0,3),F(2,-7),D2,-1C5,8

AF=,CF=DF=6,PF=y+7

代入得,

解得y=-3

P2,-3);

時,

代入得

解得y=19

P;

綜上,點的坐標為

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