在課外小組活動時,小偉拿來一道題(原問題)和小熊、小強交流.
原問題:如圖1,已知△ABC, ∠ACB=90°, ∠ABC=45°,分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA=DB,  EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,連接DE交AB于點F. 探究線段DF與EF的數(shù)量關(guān)系.小偉同學(xué)的思路是:過點D作DG⊥AB于G,構(gòu)造全等三角形,通過推理使問題得解.小熊同學(xué)說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.小強同學(xué)經(jīng)過合情推理,提出一個猜想,我們可以把問題推廣到一般情況.請你參考小慧同學(xué)的思路,探究并解決這三位同學(xué)提出的問題:
【小題1】寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系
【小題2】如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明;
【小題3】如圖3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原問題中的其他條件不變,你在(1)中

得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明

【小題1】DF= EF.    ……………………………(2分)
【小題2】猜想:DF= FE.
證明:過點D作DG⊥AB于G, 則∠DGB=90°.
∵ DA=DB,∠ADB=60°.
∴ AG=BG,△DBA是等邊三角形.
∴ DB=BA.
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴ AC=AB=BG.   ∴△DBG≌△BAC.
∴ DG=BC.        ∵ BE=EC,∠BEC=60°,
∴△EBC是等邊三角形.
∴ BC=BE,∠CBE=60°.
∴ DG= BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵∠DFG =∠EFB,∠DGF =∠EBF,
∴△DFG≌△EFB.∴ DF= EF.         ………………(7分)
【小題3】猜想:DF= FE.
過點D作DH⊥AB于H,連接HC、HE、HE交CB于K,則∠DHB=90°.
 
∵ DA=DB,    ∴ AH="BH," ∠1=∠HDB.
∵∠ACB=90°,∴ HC=HB.
∵ EB=EC,HE=HE,
∴△HBE≌△HCE.  
∴∠2=∠3,∠4=∠BEH. ∴ HK⊥BC.
∴∠BKE=90°.     
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°,
∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE, DH//BE.
∴四邊形DHEB是平行四邊形.
∴ DF=EF. ………………………………………………………(12分)解析:
本題的解題思路是通過構(gòu)建全等三角形來求解.先根據(jù)直角三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)得到一些隱含的條件,然后根據(jù)所得的條件來證明所構(gòu)建的三角形的全等;再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出DF=EF的猜想.
練習(xí)冊系列答案
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小慧同學(xué)的思路是:過點D作DG⊥AB于G,構(gòu)造全等三角形,通過推理使問題得解.
小東同學(xué)說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60度.
小明同學(xué)經(jīng)過合情推理,提出一個猜想,我們可以把問題推廣到一般情況.
請你參考小慧同學(xué)的思路,探究并解決這三位同學(xué)提出的問題:
(1)寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明;
(3)如圖3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原問題中的其他條件不變,精英家教網(wǎng)你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明.

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1.寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系

2.如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明;

3.如圖3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原問題中的其他條件不變,你在(1)中

得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明

 

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1.寫出原問題中DF與EF的數(shù)量關(guān)系

2.如圖2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原問題中的其他條件不變,你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?請寫出你的猜想并加以證明;

3.如圖3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原問題中的其他條件不變,你在(1)中

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