解答:解:(1)∵直線MC的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=kx-3.
∴點(diǎn)C(0,-3)
∴cos∠BCO=
==
∴可設(shè)|OC|=3t(t>0),|BC|=
t
則由勾股定理,得|OB|=t
而|OC|=3t=3,
∴t=1
∴|OB|=1,
∴點(diǎn)B(1,0)
∵點(diǎn)B(1,0)C(0,-3)在拋物線上
∴
,
解得
,
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x+1)
2-4=x
2+2x-3.
(2)假設(shè)在拋物線上存在異于點(diǎn)C的點(diǎn)P,使以N,P,C為頂點(diǎn)的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形,
①若PN為另一條直角邊
∵點(diǎn)M(-1,-4)在直線MC上,
∴-4=-k-3,即k=1
∴直線MC的函數(shù)表達(dá)式為y=x-3
易得直線MC與x軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(3,0)
∵|OC|=|ON|
∴∠CNO=45°
∴在y軸上取點(diǎn)D(0,3),
連接ND交拋物線于點(diǎn)P
∵|ON|=|OD|
∴∠DNO=45°
設(shè)直線ND的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n
由
得
∴直線ND的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3
設(shè)點(diǎn)P(x,-x+3),代入拋物線的函數(shù)表達(dá)式,
得-x+3=x
2+2x-3,
即x
2+3x-6=0
解得x
1=
,x
2=
∴y
1=
,y
2=
∴滿足條件的點(diǎn)為P
1(
,
),p
2(
,
).
②若PC是另外一條直角邊
∵點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一交點(diǎn),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0)
連接AC,∵|OA|=|OC|,
∴∠OCA=45°,又∠OCN=45°
∴∠ACN=90°,
∴點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)p
3(-3,0)
綜上所述,在拋物線上存在滿足條件的點(diǎn),有3個(gè),
分別為:P
1(
,
),p
2(
,
),p
3(-3,0).
(3)若拋物線沿其對(duì)稱軸向上平移,
設(shè)向上平移b(b>0)個(gè)單位可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=x
2+2x-3+b
由
,
得x
2+x+b=0.
∴要使拋物線與線段NQ總有交點(diǎn),
必須△=1-4b≥0,即b≤
,
∴0<b≤
∴若拋物線向上平移,最多可平移
個(gè)單位長(zhǎng)度.
②若拋物線沿其對(duì)稱軸向下平移,設(shè)向下平移b(b>0)個(gè)單位
可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=x
2+2x-3-b
∵當(dāng)x=-3時(shí),y=-b,當(dāng)x=3時(shí),y=12-b
易求得Q(-3,-6),又N(3,0)
∴要使拋物線與線段NQ總有交點(diǎn),必須
-b≥-6或12-b≥0,即b≤6或b≤12
∴0<b≤12
∴若拋物線沿其對(duì)稱軸向下平移,最多可平移12個(gè)單位長(zhǎng)度
綜上可知,若拋物線沿其對(duì)稱軸向下平移,使拋物線與線段NQ總有公共點(diǎn),
則向上最多可平移
個(gè)單位長(zhǎng)度,向下最多可平移12個(gè)單位長(zhǎng)度.