【題目】如圖,點O是等邊△ABC內(nèi)一點,∠AOB=110°,∠BOC=α,將△BOC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°,到△ADC,連接OD.

(1)求證:△COD是等邊三角形;
(2)當α=150°時,試判斷△AOD的形狀,并說明理由.
(3)探索:當α為多少度時,△AOD是等腰三角形.

【答案】
(1)

證明:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:CO=CD,∠OCD=60°,

∴△COD是等邊三角形;


(2)

解:當α=150°,即∠BOC=150°時,△AOD是直角三角形.理由如下:

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:△BOC≌△ADC,

∴∠ADC=∠BOC=150°,

又∵△COD是等邊三角形,

∴∠ODC=60°,

∴∠ADO=90°,

即△AOD是直角三角形;


(3)

解:分三種情況:

①AO=AD時,∠AOD=∠ADO.

∵∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,∠ADO=α﹣60°,

∴190°﹣α=α﹣60°

∴α=125°;

②OA=OD時,∠OAD=∠ADO.

∵∠AOD=190°﹣α,∠ADO=α﹣60°,

∴∠OAD=180°﹣(∠AOD+∠ADO)=50°,

∴α﹣60°=50°

∴α=110°;

③OD=AD時,∠OAD=∠AOD.

∵190°﹣α=50°

∴α=140°.

綜上所述:當α的度數(shù)為125°或110°或140°時,△AOD是等腰三角形.


【解析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CO=CD,∠OCD=60°,即可得出結(jié)論;(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BOC≌△ADC,得出∠ADC=∠BOC=150°,由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ODC=60°,求出∠ADO=90°即可;(3)分三種情況:①AO=AD時;②OA=OD時;③OD=AD時;由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果.
【考點精析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變,旋轉(zhuǎn)角度大小不變;②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變;③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變,只是位置變了.

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記錄如下:

擲小石子所落的總次數(shù)

小石子所落的有效區(qū)域

50

150

300

小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的次數(shù)m

14

48

89

小石子落在圓以外的陰影部分(含外緣)的次數(shù)n

30

95

180

(1)當投擲的次數(shù)很大時,mn的值越來越接近___________(結(jié)果精確到0.1);

(2)若以小石子所落的有效區(qū)域里的次數(shù)為總數(shù)(m+n),則隨著投擲次數(shù)的增加,小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的頻率穩(wěn)定在___________附近;

(3)若你投一次石子,則小石子落在圓內(nèi)(含圓上)的概率為___________;

(4)請你利用(2)中所得頻率,估計整個封閉圖形ABCD的面積是多少平方米(結(jié)果保留π).

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