Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，點E從點D出發(fā)，沿線段DA以每秒1個單位長的速度向點A方向移動，同時點F從點C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度移動，當(dāng)B，E，F三點共線時，兩點同時停止運動．設(shè)點E移動的時間為t（秒）．

（1）求當(dāng)t為何值時，兩點同時停止運動；

（2）設(shè)四邊形BCFE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

（3）求當(dāng)t為何值時，以E，F，C三點為頂點的三角形是等腰三角形；

（4）求當(dāng)t為何值時，∠BEC＝∠BFC．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t＝4時，兩點同時停止運動；（2）．（）；

（3）當(dāng)t的值為4， ，時，以E，F，C三點為頂點的三角形是等腰三角形；

（4）當(dāng)t＝時，∠BEC＝∠BFC．

【解析】

（1）由題意分析可得當(dāng)B，E，F三點共線時，兩點同時停止運動，此時可得到：△FED∽△FBC，同時對應(yīng)的邊都可以用t表示，得到，求出t即可；

（2）四邊形BCFE的面積=三角形BCE的面積+三角形EFC的面積；通過題意得ED＝t，CF＝2t，即可表示出S與t的函數(shù)關(guān)系；

（3）以E，F，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則需要分類討論三角形誰為底，誰為高：①若EF＝EC時，則點F只能在CD的延長線上；②若EC＝FC時；③若EF＝FC時；再分別用含t的式子表示出對應(yīng)邊的平方，解得即可。（注意取舍）

（4）由題意得：在Rt△BCF和Rt△CDE中，∵∠BCF＝∠CDE＝90°，Rt△BCF∽Rt△CDE．∠BCE＝∠CED．若∠BEC＝∠BFC，則∠BEC＝∠BCE．即BE＝BC=8．，即，即可求出t的值。（注意取舍）

解：（1）當(dāng)B，E，F三點共線時，兩點同時停止運動，如圖所示。

由題意可知：ED＝t，BC＝8，FD＝2t﹣4，FC＝2t．

∵ED∥BC，

∴△FED∽△FBC．

∴．

∴．

解得t＝4．

∴當(dāng)t＝4時，兩點同時停止運動；

（2）∵ED＝t，CF＝2t，

∴．

即．（）；

（3）①若EF＝EC時，則點F只能在CD的延長線上，

∵，

，

∴．

∴t＝4或t＝0（舍去）；

②若EC＝FC時，

∵，，

∴

∴；

③若EF＝FC時，

∵，，

∴．

∴t1＝（舍去），t2＝．

∴當(dāng)t的值為4，，時，以E，F，C三點為頂點的三角形是等腰三角形；

（4）在Rt△BCF和Rt△CDE中，

∵∠BCF＝∠CDE＝90°，，

∴Rt△BCF∽Rt△CDE．

∴∠BFC＝∠CED．

∵AD∥BC，

∴∠BCE＝∠CED．

若∠BEC＝∠BFC，則∠BEC＝∠BCE．

∴BE＝BC．

∵，

∴．

∴t1＝（舍去），t2＝．

∴當(dāng)t＝時，∠BEC＝∠BFC．