Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)P為線段BC上方拋物線上（不與B、C重合）的一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PB，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，在y軸找點(diǎn)D，使得PD﹣OD的值最小時(shí)，求這個(gè)最小值．

（2）如圖2，拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)K，與線段BC交于點(diǎn)M，在對(duì)稱軸上取一點(diǎn)R，使得KR＝12（點(diǎn)R在第一象限），連接BR．已知點(diǎn)N為線段BR上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，將△BMN沿MN翻折到△B'MN．當(dāng)△B'MN與△BMR重疊部分（如圖中的△MNQ）為直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)B'的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）PD﹣OD的值最小；（2）B'（2，12）或B'（，4）時(shí)，△MNQ為直角三角形．

【解析】

（1）由已知可求，，，求出直線BC的解析式，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)面積最大時(shí)確定P點(diǎn)的坐標(biāo)，最后根據(jù)最短路徑的知識(shí)求出的最小值；

（2）根據(jù)題意，重疊部分可以分兩種情況進(jìn)行討論，即①當(dāng)MN⊥B'M，②當(dāng)MN⊥BR時(shí)，為直角三角形，進(jìn)而求出B'的坐標(biāo)即可．

（1）由已知可求，，，

∴直線BC的解析式為，直線AC的解析式為，

設(shè)點(diǎn)，

∵過(guò)點(diǎn)P與直線BC垂直的直線解析式為，

∴設(shè)直線與直線的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

，

∴，

當(dāng)m＝時(shí)，PQ有最大，此時(shí)面積最大，

∴，

如下圖，作P點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作直線，

過(guò)點(diǎn)P'作直線的垂線交y軸于點(diǎn)D，交直線于點(diǎn)M，

∵PD＝P'D，∠DOM＝60°，

∴MD＝OD，

∴，

∴OD的最小值為P'M；

∵P'D的解析式為y＝，

∴，

∴P'M＝，

∴的值最小；

（2）①當(dāng)MN⊥B'M時(shí)，為直角三角形，

對(duì)稱軸，

∴，，

∴KB＝，

直線BC的解析式為，

∴，

∴MK＝4，MB＝8，

∴RM＝8，

∴MR＝KB，

∵，

∴∠KRB＝30°，

∴∠B'＝30°，

∴QM＝4，B'Q＝,

∴RQ＝4，

∴QN＝，

∴；

②當(dāng)MN⊥BR時(shí)，為直角三角形，

∵∠MBN＝∠MB'N＝30°，∠KRB＝30°，

∴B'與R重合，

∴；

綜上所述：或時(shí)，為直角三角形．