Question

【題目】如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．
（Ⅰ）求證：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE， ∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
又∵PB平面PEB，∴BP⊥DE；
（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，
∴分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

設(shè)PE=a，則B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），
P（0，0，a），
可得 ， ，
設(shè)面PBC的法向量 ，
∴ 令y=1，可得x=1，z=
因此 是面PBC的一個法向量，
∵ ，PD與平面PBC所成角為30°，
∴ ，即 ，
解之得：a= ，或a=4（舍），因此可得PE的長為 ．
【解析】（I）根據(jù)翻折后DE仍然與BE、PE垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由線面垂直的性質(zhì)可得PB⊥DE；（II）分別以DE、BE、PE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PE=a，可得點B、D、C、P關(guān)于a的坐標(biāo)形式，從而得到向量 、 坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為0的方法建立方程組，解出平面PCD的一個法向量為 =（1，1， ），由PD與平面PBC所成的角為30°和向量 的坐標(biāo)，建立關(guān)于參數(shù)a的方程，解之即可得到線段PE的長．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．