【題目】如圖1,已知拋物線與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)如圖1,連接,,,設(shè)的面積為.求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求出當(dāng)為何值時(shí),的面積有最大值;
(3)如圖2,設(shè)拋物線的對稱軸為直線,與軸的交點(diǎn)為.在直線上是否存在點(diǎn),使得四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2),當(dāng)t=時(shí),S取最大值,最大值為;(3)M(1,6).
【解析】
(1)由點(diǎn)A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;
(2)過點(diǎn)P作PF∥y軸,交BC于點(diǎn)F,由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式,根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而可得出PF的長度,再由三角形的面積公式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值;
(3)連接PC,交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E,由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可得出對稱軸l為直線x=1,利用平行四邊形對角線互相平分可得出點(diǎn)P、E的坐標(biāo),進(jìn)而可得出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(1)將A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c,
,
解得,
∴拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3.
(2)如圖1,過點(diǎn)P作PF∥y軸,交BC于點(diǎn)F.
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0),
將B(3,0)、C(0,3)代入y=mx+n,得,
解得:,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3.
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,﹣t2+2t+3),
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(t,﹣t+3),
∴PF=﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,
∴SPFOBt2t
(t)2.
∵0,
∴當(dāng)t時(shí),S取最大值,最大值為.
(3)如圖2,連接PC,交拋物線對稱軸l于點(diǎn)E.
∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),
∴拋物線的對稱軸為直線x=1.
若四邊形CDPM是平行四邊形,則CE=PE.
∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0,點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t=1×2﹣0=2,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=﹣22+2×2+3=3,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3).
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,3),
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】春節(jié)前,某超市從廠家購進(jìn)某商品,已知該商品每個(gè)的成本價(jià)為30元,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷售量 (個(gè))與銷售單價(jià) (元) 之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,當(dāng)該商晶每個(gè)售價(jià)為40元時(shí),每天可賣出300個(gè);當(dāng)該商晶每個(gè)售價(jià)為60元時(shí),每天可賣出100個(gè).
(1)與之間的函數(shù)關(guān)系式為__________________(不要求寫出的取值范圍) ;
(2)若超市老板想達(dá)到每天不低于220個(gè)的銷售量,則該商品每個(gè)售價(jià)定為多少元時(shí),每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的布袋中,有個(gè)紅球,個(gè)白球,這些球除顏色外都相同.
(1)攪勻后從中任意摸出個(gè)球,摸到紅球的概率是________;
(2)攪勻后先從中任意摸出個(gè)球(不放回),再從余下的球中任意摸出個(gè)球.求兩次都摸到紅球的概率.(用樹狀圖或表格列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,給出下列結(jié)論:
①b2=4ac;②abc>0;③a>c;④4a﹣2b+c>0,其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明的袋子里裝有黑白兩種顏色的球共只,這些球除顏色外都相同.小明從袋子中隨機(jī)摸一個(gè)球,記下顏色后放回,不斷重復(fù),并繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解決下列問題:
(1)摸到黑球的頻率會接近____________(精確到),估計(jì)摸一次球能摸到黑球的概率是_____________;袋中黑球的個(gè)數(shù)約為_________只;
(2)若小明又將一些相同的黑球放進(jìn)了這個(gè)不透明的袋子里,然后再次進(jìn)行摸球試驗(yàn),當(dāng)重復(fù)大量試驗(yàn)后,發(fā)現(xiàn)黑球的頻率穩(wěn)定在左右,則小明后來放進(jìn)了____________個(gè)黑球.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、CD為⊙O的直徑,弦AE∥CD,連接BE交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作直線EP與CD的延長線交于點(diǎn)P,使∠PED=∠C.
(1)求證:PE是⊙O的切線;
(2)求證:DE平分∠BEP;
(3)若⊙O的半徑為10,CF=2EF,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)在函數(shù)的圖象上,直線分別與軸、軸交于點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則的面積是________.
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【題目】如圖,是的直徑,為上一點(diǎn),于點(diǎn),交于點(diǎn),與交于點(diǎn)為延長線上一點(diǎn),且.
(1)求證:是的切線;
(2)求證:;
(3)若,求的長.
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