Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED為菱形；
（2）連接AE、BE，AE與BE相等嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四邊形DOCE是平行四邊形，

∵矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，

∴OC= AC= BD=OD，

∴四邊形OCED為菱形；

（2）解：AE=BE．

理由：∵四邊形OCED為菱形，

∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，

∴∠ADE=∠BCE，

在△ADE和△BCE中，

，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴AE=BE．

【解析】（1）首先利用平行四邊形的判定得出四邊形DOCE是平行四邊形，進而利用矩形的性質(zhì)得出DO=CO，即可得出答案；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，進而利用全等三角形的判定得出．
【考點精析】通過靈活運用菱形的判定方法和矩形的性質(zhì)，掌握任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．