Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4,0），點(diǎn)B（0,6），點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,n）.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（不與點(diǎn)A、B重合）

①當(dāng)m=2,n=3時(shí)，求△POA的面積.

②記△POB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出定義域.

（2）如果S△BOP：S△POA=1:2,請(qǐng)直接寫出直線OP的函數(shù)解析式.（本小題只要寫出結(jié)果，不需要寫出解題過(guò)程）.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）S=3m，0<m<4；（3）y=3x或y= -3x

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可得△POA的底和高，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算；（2）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可得△POB的底和高，根據(jù)三角形面積公式列出S與m的解析式；（3）分別討論當(dāng)P在第二、第一、第四象限內(nèi)，根據(jù)題意列出等式求P點(diǎn)坐標(biāo)，確定直線OP解析式.

解：（1）如圖，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，

∵A（4,0），P（2,3），

∴S△POA==.

（2）如圖，過(guò)P作PN⊥y軸，垂足為N，

∵B（0,6），P（m,n），

∴S ==.

∵P在線段AB上（不與點(diǎn)A、B重合）

∴0<m<4

∴S關(guān)于m的函數(shù)解析式為S=3m，0<m<4.

（3）如圖，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將A（4,0），B（0,6）代入，

，

解得， ，

∴直線AB的解析式為 ，

∴P（m, ）.

∵S△BOP：S△POA=1:2，∴S△POA=2 S△BOP

①當(dāng)m≤0，即點(diǎn)P在第二象限時(shí)，

根據(jù)題意得，

解得，m= -4，

∴P（-4,12），

設(shè)直線OP解析式為y=ax，將P點(diǎn)代入，

-4a=12,

解得，a= -3，

∴直線OP解析式為y= -3x；

②當(dāng)0<m≤4，即點(diǎn)P在第一象限時(shí)，

根據(jù)題意得，

解得，m= ，

∴P（,4），

設(shè)直線OP解析式為y=ax，將P點(diǎn)代入，

a=4,

解得，a= 3，

∴直線OP解析式為y= 3x；

③當(dāng)m>4，即點(diǎn)P在第四象限時(shí)，

根據(jù)題意得，

解得，m= -4（不符合題意，舍去） .

綜上所述，直線OP的解析式為：y=3x或y= -3x