如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(0,m2)(m>0)在y軸正半軸上,過點(diǎn)P作平行于x軸的直線,分別交拋物線C1:y=x2于點(diǎn)A、B,交拋物線C2:y=x2于點(diǎn)C、D.原點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,分別連接OA,OB,QC和QD.
【猜想與證明】
填表:
m123
      
     
由上表猜想:對任意m(m>0)均有=______.請證明你的猜想.
【探究與應(yīng)用】
(1)利用上面的結(jié)論,可得△AOB與△CQD面積比為______;
(2)當(dāng)△AOB和△CQD中有一個(gè)是等腰直角三角形時(shí),求△CQD與△AOB面積之差;
【聯(lián)想與拓展】
如圖②過點(diǎn)A作y軸的平行線交拋物線C2于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作y軸的平行線交拋物線C1于點(diǎn)F.在y軸上任取一點(diǎn)M,連接MA、ME、MD和MF,則△MAE與△MDF面積的比值為______.

【答案】分析:猜想與證明:
把P點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值,就可以求出結(jié)論,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出對任意m(m>0)將y=m2代入兩個(gè)二次函數(shù)的解析式就可以分別表示出AB與CD的值,從而得出均有=
探究與證明:
(1)由條件可以得出△AOB與△CQD高相等,就可以得出面積之比等于底之比而得出結(jié)論;
(2)分兩種情況討論,當(dāng)△AOB為等腰直角三角形時(shí),可以求出m的值就可以求出△AOB的面積,從而求出△CQD的面積,就可以求出其差,當(dāng)△CQD為等腰直角三角形時(shí),可以求出m的值就可以求出△CDQ的面積,進(jìn)而可以求出結(jié)論;
聯(lián)想與拓展:
由猜想與證明可以得知A、D的坐標(biāo),可以求出F、E的縱坐標(biāo),從而可以求出AE、DF的值,由三角形的面積公式分別表示出△MAE與△MDF面積,就可以求出其比值.
解答:解:猜想與證明:
當(dāng)m=1時(shí),1=x2,1=x2
∴x=±2,x=±3,
∴AB=4,CD=6,

當(dāng)m=2時(shí),4=x2,4=x2,
∴x=±4,x=±6,
∴AB=8,CD=12,
;
當(dāng)m=3時(shí),9=x2,9=x2,
∴x=±6,x=±9,
∴AB=12,CD=18,
;
∴填表為
m123
      
對任意m(m>0)均有=
理由:將y=m2(m>0)代入y=x2,得x=±2m,
∴A(-2m,m2),B(2m,m2),
∴AB=4m.
將y=m2(m>0)代入y=x2,得x=±3m,
∴C(-3m,m2),D(3m,m2),
∴CD=6m.
,
∴對任意m(m>0)均有=;

探究與運(yùn)用:
(1)∵O、Q關(guān)于直線CD對稱,
∴PQ=OP.
∵CD∥x軸,
∴∠DPQ=∠DPO=90°.
∴△AOB與△CQD的高相等.
=,
∴AB=CD.
∵S△AOB=AB•PO,S△CQD=CD•PQ,
=,
(2)當(dāng)△AOB為等腰直角三角形時(shí),如圖3,
∴PO=PB=m2,AB=2OP
∴m2=m4,
∴4m2=m4
∴m1=0,m2=-2,m3=2.
∵m>0,
∴m=2,
∴OP=4,AB=8,
∴PD=6,CD=12.
∴S△AOB==16
∴S△CQD==24,
∴S△CQD-S△AOB=24-16=8.
當(dāng)△CQD是等腰直角三角形時(shí),如圖4,
∴PQ=PO=PD=m2,CD=2QP
∴m2=m4,
∴9m2=m4,
∴m1=0,m2=-3,m3=3.
∵m>0,
∴m=3,
∴OP=6,AB=12,
∴PQ=9,CD=18.
∴S△AOB==54
∴S△CQD==81,
∴S△CQD-S△AOB=81-54=27;

聯(lián)想與拓展
由猜想與證明可以得知A(-2m,m2),D(3m,m2),
∵AE∥y軸,DF∥y軸,
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2m,F(xiàn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3m,
∴y=(-2m)2,y=(3m)2,
∴y=m2,y=m2,
∴E(-2m,m2),F(xiàn)(3m,m2),
∴AE=m2-m2=m2,DF=m2-m2=m2
S△AEM=×m2•2m=m3,
S△DFM=m2•3m=m3
=
故答案為:;;
點(diǎn)評(píng):本題考出了對稱軸為y軸的拋物線的性質(zhì)的運(yùn)用,由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用,等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,三角形的面積公式的運(yùn)用,軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用,在解答本題時(shí)運(yùn)用兩個(gè)拋物線上的點(diǎn)的特征不變建立方程求解是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

23、在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點(diǎn)的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫兩條互相垂直,并且有公共原點(diǎn)O的數(shù)軸,通常一條畫成水平,叫x軸,另一條畫成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說在平面上建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,這是由法國數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點(diǎn)的位置,例如,要確定點(diǎn)M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(x,y)叫做M點(diǎn)的坐標(biāo),如圖甲,點(diǎn)M的坐標(biāo)記作(2,3),(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請寫出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作
(2,2)

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在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點(diǎn)B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)

(2)求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)且過點(diǎn)A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時(shí)間為多少秒時(shí),三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?

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學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫下表:

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標(biāo),n作為橫坐標(biāo),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中找出相應(yīng)各點(diǎn).

(3)請你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一個(gè)函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結(jié)果,求出當(dāng)n=10時(shí),s的值.

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閱讀下面的材料:

小明在研究中心對稱問題時(shí)發(fā)現(xiàn):

如圖1,當(dāng)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)再繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),小明發(fā)現(xiàn)P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱.

(1)請?jiān)趫D2中畫出點(diǎn)、, 小明在證明P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱時(shí),除了說明P、、三點(diǎn)共線之外,還需證明;

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,當(dāng)、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn). 繼續(xù)如此操作若干次得到點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為(),點(diǎn)的坐為.

 

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(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫出平移后的△A′B′C′;
(2)請寫出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作______.

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