Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于點(diǎn)E，且cos∠α＝，下列結(jié)論：①△ADE∽△ACD；②當(dāng)BD＝6時(shí)，△ABD與△DCE全等；③△DCE為直角三角形時(shí)，BD為8或；④0＜CE≤6.4．其中正確的結(jié)論是_________．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；②由BD＝6，則DC＝10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得；④依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．

解：①∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵∠ADE＝∠B，

∴∠ADE＝∠C，

∴△ADE∽△ACD，故①正確；

②作AG⊥BC于G，

∵AB＝AC＝10，∠ADE＝∠B＝α，cosα＝，

∴BG＝ABcosB，

∴BC＝2BG＝2ABcosB＝2×10×＝16，

∵BD＝6，

∴DC＝10，

∴AB＝DC，

在△ABD與△DCE中，

∴△ABD≌△DCE（ASA），故②正確；

③當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，由①可知：△ADE∽△ACD，

∴∠ADC＝∠AED，

∵∠AED＝90°，

∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∴∠ADE＝∠B＝α且cosα＝，AB＝10，BD＝8，

當(dāng)∠CDE＝90°時(shí)，易△CDE∽△BAD，

∵∠CDE＝90°，

∴∠BAD＝90°，

∵∠B＝α且cosα＝，AB＝10，

∴cosB＝＝，

∴BD＝，故③錯(cuò)誤；

④易證得△CDE∽△BAD，由②可知BC＝16，

設(shè)BD＝y，CE＝x，

∴，

∴，

整理得：y216y＋64＝6410x，

即（y8）2＝6410x，

∴0＜x≤6.4，故④正確；

故答案為：①②④．