Question

【題目】綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)．

（1）在圖①中，點(diǎn)坐標(biāo)為__________；

（2）如圖②，點(diǎn)在線段上，連接，作等腰直角三角形，，連接．證明：；

（3）在圖②的條件下，若三點(diǎn)共線，求的長；

（4）在軸上找一點(diǎn)，使面積為2．請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)(1,3)；

(2)答案見解析；

(3)OD=1

(4)F的坐標(biāo)是或

【解析】

（1）過C點(diǎn)作軸，垂足為F，在證明了后可得到線段BM、CM的長，再求出線段OM的長，便可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)和等式的基本性質(zhì)證明,再利用“SAS”定理證明后便可得到；

(3) 三點(diǎn)共線時，可推導(dǎo)出軸，從而有；

(4)根據(jù)點(diǎn)F在y軸上，所以中BF上的高總是OA=2，在此處只需要利用其面積為2和三角形的面積計算： ，分點(diǎn)F在點(diǎn)B的上方和下方兩種情況討論可得．

(1)過點(diǎn)C作軸，垂足為M，則

∴

∵

∴

∴

又∵

∴

∴，

∵點(diǎn)

∴，

∴

而點(diǎn)C在第一象限，所以點(diǎn)

(2)∵等腰直角三角形

∴

∵

∴

∴

∴

∴

(3)由(2) 可得

∵三點(diǎn)共線且三角形是等腰直角三角形

∴

∴

又

∴四邊形ODCM是矩形

∴

(4)∵點(diǎn)F在y軸上

∴的邊BF的高為OA=2

∵

即

∴

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的上方時，其坐標(biāo)為(3,0)；

當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B的下方時，其坐標(biāo)為(-1,0)．

故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(3,0)或(-1,0)．