【題目】如圖,已知E、F分別為正方形ABCD的邊AB,BC的中點,AF與DE交于點M,O為BD的中點,則下列結(jié)論:①∠AME=90°;②∠BAF=∠EDB;③∠BMO=90°;④MD=2AM=4EM;⑤AM= MF.其中正確結(jié)論的個數(shù)是(
A.5個
B.4個
C.3個
D.2個

【答案】B
【解析】解:在正方形ABCD中,AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°, ∵E、F分別為邊AB,BC的中點,
∴AE=BF= BC,
在△ABF和△DAE中,
,
∴△ABF≌△DAE(SAS),
∴∠BAF=∠ADE,
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,
∴∠AMD=180°﹣(∠ADE+∠DAF)=180°﹣90°=90°,
∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°,故①正確;
∵DE是△ABD的中線,
∴∠ADE≠∠EDB,
∴∠BAF≠∠EDB,故②錯誤;
∵∠BAD=90°,AM⊥DE,
∴△AED∽△MAD∽△MEA,
= = =2,
∴AM=2EM,MD=2AM,
∴MD=2AM=4EM,故④正確;
設正方形ABCD的邊長為2a,則BF=a,
在Rt△ABF中,AF= = = a,
∵∠BAF=∠MAE,∠ABC=∠AME=90°,
∴△AME∽△ABF,
=
= ,
解得AM= a,
∴MF=AF﹣AM= a﹣ a= a,
∴AM= MF,故⑤正確;
如圖,過點M作MN⊥AB于N,
= = ,
= = ,
解得MN= a,AN= a,
∴NB=AB﹣AN=2a﹣ a= a,
根據(jù)勾股定理,BM= = = a,
過點M作GH∥AB,過點O作OK⊥GH于K,
則OK=a﹣ a= a,MK= a﹣a= a,
在Rt△MKO中,MO= = = a,
根據(jù)正方形的性質(zhì),BO=2a× = a,
∵BM2+MO2=( a)2+( a)2=2a2 ,
BO2=( a)2=2a2 ,
∴BM2+MO2=BO2 ,
∴△BMO是直角三角形,∠BMO=90°,故③正確;
綜上所述,正確的結(jié)論有①③④⑤共4個.
故選B.

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD,∠ABC=∠BAD=90°,再根據(jù)中點定義求出AE=BF,然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等,根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠ADE,然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°,從而求出∠AMD=90°,再根據(jù)鄰補角的定義可得∠AME=90°,從而判斷①正確;根據(jù)中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB,然后求出∠BAF≠∠EDB,判斷出②錯誤;根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷出△AED、△MAD、△MEA三個三角形相似,利用相似三角形對應邊成比例可得 = = =2,然后求出MD=2AM=4EM,判斷出④正確,設正方形ABCD的邊長為2a,利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出AM,然后求出MF,消掉a即可得到AM= MF,判斷出⑤正確;過點M作MN⊥AB于N,求出MN、NB,然后利用勾股定理列式求出BM,過點M作GH∥AB,過點O作OK⊥GH于K,然后求出OK、MK,再利用勾股定理列式求出MO,根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BO,然后利用勾股定理逆定理判斷出∠BMO=90°,從而判斷出③正確.

練習冊系列答案
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