Question

閱讀下列材料：

小華遇到這樣一個(gè)問題,如圖1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=6,AC=5,在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值．

小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題,首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離,然后再將它們連接成一條折線,并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn),這樣依據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,就可以求出這三條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折.旋轉(zhuǎn).平移的方法,發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題．他的做法是,如圖2,將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60º,得到△EDC,連接PD.BE,則BE的長即為所求．

（1）請(qǐng)你寫出圖2中,PA+PB+PC的最小值為       ;

（2）參考小華的思考問題的方法,解決下列問題：

①如圖3,菱形ABCD中,∠ABC=60º,在菱形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出并指明長度等于PA+PB+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡,畫出一條即可）;

②若①中菱形ABCD的邊長為4,請(qǐng)直接寫出當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長．

 

Answer 1

【答案】

(1)PA+PB+PC的最小值為;

(2)①圖形見解析;②當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長為．

【解析】

試題分析：（1）先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△APC≌△EDC,則∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,再證明∠BCE=90°,然后在Rt△BCE中,由勾股定理求出BE的長度,即為PA+PB+PC的最小值;

（2）①將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△DEC,連接PE.DE,則線段BD即為PA+PB+PC最小值的線段;

②當(dāng)B.P.E.D四點(diǎn)共線時(shí),PA+PB+PC值最小,最小值為BD．先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△APC≌△DEC,則CP=CE,再證明△PCE是等邊三角形,得到PE=CE=CP,然后根據(jù)菱形.三角形外角的性質(zhì),等腰三角形的判定得出BP=CP,同理,得出DE=CE,則BP=PE=ED=BD．

試題解析：（1）如圖2．∵將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△EDC,

∴△APC≌△EDC,

∴∠ACP=∠ECD,AC=EC=5,∠PCD=60°,

∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB,

∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°,

∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．

在Rt△BCE中,∵∠BCE=90°,BC=6,CE=5,

∴,

即PA+PB+PC的最小值為;

（2）①將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△DEC,連接PE.DE,則線段BD等于PA+PB+PC最小值的線段;

②當(dāng)B.P.E.D四點(diǎn)共線時(shí),PA+PB+PC值最小,最小值為BD．

∵將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△DEC,

∴△APC≌△DEC,

∴CP=CE,∠PCE=60°,

∴△PCE是等邊三角形,

∴PE=CE=CP,∠EPC=∠CEP=60°．

∵菱形ABCD中,∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°,

∴∠PCB=∠EPC﹣∠CBP=60°﹣∠30°=30°,

∴∠PCB=∠CBP=30°,

∴BP=CP,

同理,DE=CE,

∴BP=PE=ED．

連接AC,交BD于點(diǎn)O,則AC⊥BD．

在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°,BC=4,

∴BO=BC•cos∠OBC=,

∴BD=2BO=,

∴BP=BD=．

即當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長為．

考點(diǎn)：幾何變換綜合題．