【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3分別相交于A,B兩點,且此拋物線與x軸的一個交點為C,連接AC,BC.已知A(0,3),C(﹣3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線對稱軸l上找一點M,使|MB﹣MC|的值最大,并求出這個最大值;
(3)點P為y軸右側(cè)拋物線上一動點,連接PA,過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q,問:是否存在點P使得以A,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)|MB﹣MC|取最大值為;(3)存在點P(1,6),理由見解析
【解析】
(1)①將A(0,3),C(3,0)代入y=x2+bx+c,即可求解;
(2)分當點B、C、M三點不共線時、當點B、C、M三點共線時,兩種情況分別求解即可;
(3)分當時、當時兩種情況,分別求解即可.
(1)①將A(0,3),C(﹣3,0)代入y=x2+bx+c得:
,解得:,
∴拋物線的解析式是;
(2)將直線y=x+3表達式與二次函數(shù)表達式聯(lián)立
解得:x=0或﹣4,
∵A (0,3),∴B(﹣4,1)
①當點B、C、M三點不共線時,
|MB﹣MC|<BC
②當點B、C、M三點共線時,
|MB﹣MC|=BC
∴當點、C、M三點共線時,|MB﹣MC|取最大值,即為BC的長,
過點B作x軸于點E,在Rt△BEC中,由勾股定理得BC==,
∴|MB﹣MC|取最大值為;
(3)存在點P使得以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似.
設(shè)點P坐標為(x,)(x>0)
在Rt△BEC中,∵BE=CE=1,∴∠BCE=45°,
在Rt△ACO中,∵AO=CO=3,∴∠ACO=45°,
∴∠ACB=180°﹣450﹣450=900,AC=3,
過點P作PQ⊥PA于點P,則∠APQ=90°,
過點P作PQ⊥y軸于點G,∵∠PQA=∠APQ=90°
∠PAG=∠QAP,∴△PGA∽△QPA
∵∠PGA=∠ACB=90°
∴①當時,
△PAG∽△BAC,
∴=,
解得x1=1,x2=0,(舍去)
∴點P的縱坐標為×12+×1+3=6,
∴點P為(1,6);
②當時,
△PAG∽△ABC,
∴=3,
解得x1=﹣(舍去),x2=0(舍去),
∴此時無符合條件的點P
綜上所述,存在點P(1,6).
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【題目】在校園文化藝術(shù)節(jié)中,九年級一班有1名男生和2名女生獲得美術(shù)獎,另有2名男生和2名女生獲得音樂獎.
(1)從獲得美術(shù)獎和音樂獎的7名學生中選取1名參加頒獎大會,求剛好是男生的概率;
(2)分別從獲得美術(shù)獎、音樂獎的學生中各選取1名參加頒獎大會,用列表或樹狀圖求剛好是一男生一女生的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知:在△ABC 中,AB=AC.
(1)求作△ABC 外接圓(尺規(guī)作圖)
(2)若△ABC 的外接圓的圓心O到 BC 邊的距離為 4,BC=6,求外接圓的面積.
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【題目】某商店購進一批成本為每件 30 元的商品,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該商品每天的銷售量 y(件)與銷售單價 x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示.
(1)求該商品每天的銷售量 y 與銷售單價 x 之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若商店按單價不低于成本價,且不高于 50 元銷售,則銷售單價定為多少,才能使銷售該商品每天獲得的利潤 w(元)最大?最大利潤是多少?
(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于 800 元,則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件?
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【題目】為響應(yīng)國家的“一帶一路”經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略,樹立品牌意識,我市質(zhì)檢部門對A、B、C、D四個廠家生產(chǎn)的同種型號的零件共2000件進行合格率檢測,通過檢測得出C廠家的合格率為95%,并根據(jù)檢測數(shù)據(jù)繪制了如圖1、圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)抽查D廠家的零件為 件,扇形統(tǒng)計圖中D廠家對應(yīng)的圓心角為 ;
(2)抽查C廠家的合格零件為 件,并將圖1補充完整;
(3)通過計算說明合格率排在前兩名的是哪兩個廠家;
(4)若要從A、B、C、D四個廠家中,隨機抽取兩個廠家參加德國工業(yè)產(chǎn)品博覽會,請用“列表法”或“畫樹形圖”的方法求出(3)中兩個廠家同時被選中的概率.
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【題目】材料一:一個正整數(shù)x能寫成x=a2﹣b2(a,b均為正整數(shù),且a≠b),則稱x為“雪松數(shù)”,a,b為x的一個平方差分解,在x的所有平方差分解中,若a2+b2最大,則稱a,b為x的最佳平方差分解,此時F(x)=a2+b2.
例如:24=72﹣52,24為雪松數(shù),7和5為24的一個平方差分解,32=92﹣72,32=62﹣22,因為92+72>62+22,所以9和7為32的最佳平方差分解,F(xiàn)(32)=92+72
材料二:若一個四位正整數(shù),它的千位數(shù)字與個位數(shù)字相同,百位數(shù)字與十位數(shù)字相同,但四個數(shù)字不全相同,則稱這個四位數(shù)為“南麓數(shù)”.例如4334,5665均為“南麓數(shù)”.
根據(jù)材料回答:
(1)請直接寫出兩個雪松數(shù),并分別寫出它們的一對平方差分解;
(2)試證明10不是雪松數(shù);
(3)若一個數(shù)t既是“雪松數(shù)”又是“南麓數(shù)”,并且另一個“南麓數(shù)”的前兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)與后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)恰好是t的一個平方差分解,請求出所有滿足條件的數(shù)t中F(t)的最大值.
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【題目】在湖心有一座小塔,小華想知道這座的高塔的高度,于是他在岸邊架起了測角儀,他測量的數(shù)據(jù)如下(如圖所示):測量儀位置距水平面的距離為1.5米(即),測得塔頂的仰角為(其中),測得塔頂在水中倒影(即)的俯角為,請你根據(jù)上述數(shù)據(jù)求出這座塔的高度(即).
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D、E為⊙O上位于AB異側(cè)的兩點,連接BD并延長至點C,使得CD=BD,連接AC交⊙O于點F,連接AE、DE、DF.
(1)證明:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度數(shù);
(3)設(shè)DE交AB于點G,若DF=4,cosB=,E是弧AB的中點,求EGED的值.
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