如圖,已知平行四邊形ABCD,過A作AM⊥BC于M,交BD于E,過C作CN⊥AD于N,交BD于F,連結(jié)AF、CE.
(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形;
(2)當(dāng)AECF為菱形,M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí),求AB:AE的值.
(1)證明見解析(2)
(1)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形(已知),
∴BC∥AD(平行四邊形的對(duì)邊相互平行)。
又∵AM丄BC(已知),∴AM⊥AD。
∵CN丄AD(已知),∴AM∥CN!郃E∥CF。
又由平行得∠ADE=∠CBD,又AD=BC(平行四邊形的對(duì)邊相等)。
在△ADE和△CBF中, ∠DAE=∠BCF="90" ,AD=CB,∠ADE=∠FBC,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴AE=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)。
∴四邊形AECF為平行四邊形(對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)。
(2)如圖,連接AC交BF于點(diǎn)0,當(dāng)AECF為菱形時(shí),則AC與EF互相垂直平分。

∵BO=OD(平行四邊形的對(duì)角線相互平分),
∴AC與BD互相垂直平分。
ABCD是菱形(對(duì)角線相互垂直平分的平行四邊形是菱形)。
∴AB=BC(菱形的鄰邊相等)。
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn),AM丄BC(已知),∴△ABM≌△CAM。
∴AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)!唷鰽BC為等邊三角形。
∴∠ABC=60°,∠CBD=30°。
在Rt△BCF中,CF:BC=tan∠CBF=。
又∵AE=CF,AB=BC,∴AB:AE=。
(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、垂直的定義、平行線的判定定理可以推知AE∥CF;然后由ASA推知△ADE≌△CBF;最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知AE=CF,根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定得出結(jié)論。
(2)如圖,連接AC交BF于點(diǎn)0.由菱形的判定定理推知平行四邊形ABCD是菱形,根據(jù)菱形的鄰邊相等知AB=BC;然后結(jié)合已知條件“M是BC的中點(diǎn),AM丄BC”證得△ADE≌△CBF(ASA),所以AE=CF(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等),從而證得△ABC是正三角形;最后在Rt△BCF中,利用銳角三角函數(shù)的定義求得CF:BC=tan∠CBF= ,利用等量代換知(AE=CF,AB=BC)AB:AE=。
練習(xí)冊(cè)系列答案
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