Question

如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為48cm，∠OAB=120⁰．若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示．

（1）求雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度及O、B兩點之間的距離；（結(jié)果精確到0.01）
（2）求雨刮桿AB掃過的最大面積．（結(jié)果保留π的整數(shù)倍）
（參考數(shù)據(jù)：sin60°=，cos60°=，tan60°=，≈26.851，可使用科學計算器）

Answer 1

解：（1）∵從點A 旋轉(zhuǎn)到點C為180⁰，
∴雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180⁰。
連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH，

∵∠OAB=120^0°，∴∠OAE=60^°。
在Rt△OAE中，∵∠OAE=60^0°，OA=10，
∴，
。
∵AB=48，∴EB=AE+AB=53。
在Rt△OEB中，∵OE=，EB=53，
∴（cm）。
∴O、B兩點之間的距離為53.70 cm。
（2）∵雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180°得到CD，即△OCD與△OAB關(guān)于點O中心對稱，
∴△BAO≌△OCD。∴S_△BAO=S_△OCD。
∴雨刮桿AB掃過的最大面積S=π(OB²－OA²) =1392π（cm²）。

試題分析：（1）AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180°；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉(zhuǎn)化為直角三角形來求解，由∠OAB=120⁰想到作AB邊上的高，得到一個含60⁰角的Rt△OAE和一個非特殊角的Rt△OEB。在Rt△OAE中，已知∠OAE=60⁰，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，從而求得Rt△OEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長。
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環(huán)的面積（以O(shè)B、OA為半徑的半圓面積之差）。