【題目】如圖,矩形ABCD中,OACBD的交點,過O點的直線EFAB,CD的延長線分別交于E,F

1)求證:△BOE≌△DOF;

2)當EFAC滿足什么關系時,以A,E,C,F為頂點的四邊形是菱形?證明你的結論.

【答案】(1)詳見解析;(2)當EF⊥AC時,四邊形AECF是菱形,證明見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)定理可得OB=OD,AE∥CF,利用AAS即可證得△BOE≌△DOF;(2)添加條件EF⊥AC,先證明四邊形AECF是平行四邊形,即可得四邊形AECF是菱形.

試題解析:

1)證明:四邊形ABCD是矩形,

∴OB=OD(矩形的對角線互相平分),

AE∥CF(矩形的對邊平行).

∴∠E=∠F,∠OBE=∠ODF

∴△BOE≌△DOFAAS).

2)當EF⊥AC時,四邊形AECF是菱形.

證明:四邊形ABCD是矩形,

∴OA=OC(矩形的對角線互相平分)

由(1△BOE≌△DOF得,OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

∵EF⊥AC

四邊形AECF是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形).

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