【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸正半軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5,2),點(diǎn)P是CB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合),連結(jié)OP、AP,過(guò)點(diǎn)O作射線OE交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交CB邊于點(diǎn)M,且∠AOP=∠COM,令CP=x,MP=y.
(1)當(dāng)x為何值時(shí),OP⊥AP?
(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在x,使△OCM的面積與△ABP的面積之和等于△EMP的面積?若存在,請(qǐng)求x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:由題意知,OA=BC=5,AB=OC=2,∠B=∠OCM=90°,BC∥OA,
∵OP⊥AP,
∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°,
∴∠OPC=∠PAB,
∴△OPC∽△PAB,
∴ ,即 ,
解得x1=4,x2=1(不合題意,舍去).
∴當(dāng)x=4時(shí),OP⊥AP
(2)
解:∵BC∥OA,
∴∠CPO=∠AOP,
∵∠AOP=∠COM,
∴∠COM=∠CPO,
∵∠OCM=∠PCO,
∴△OCM∽△PCO,
∴ ,即 ,
∴ ,x的取值范圍是2<x<5;
(3)
解:假設(shè)存在x符合題意,
過(guò)E作ED⊥OA于點(diǎn)D,交MP于點(diǎn)F,則DF=AB=2,
∵△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積,
∴ ,
∴ED=4,EF=2,
∵PM∥OA,
∴△EMP∽△EOA,
∴ ,即 ,
解得 ,
∴由(2) 得, ,
解得 (不合題意舍去),
∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,存在 ,使△OCM與△ABP面積之和等于△EMP的面積.
【解析】(1)根據(jù)相似三角形的判定定理證明△OPC∽△PAB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,得到一元二次方程,解方程即可;(2)證明△OCM∽△PCO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式即可求解;(3)過(guò)E作ED⊥OA于點(diǎn)D,交MP于點(diǎn)F,根據(jù)題意得到△EOA的面積=矩形OABC的面積,求出ED的長(zhǎng),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PM,由(2)的解析式計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市水果批發(fā)部門欲將A市的一批水果運(yùn)往本市銷售,有火車和汽車兩種運(yùn)輸方式,運(yùn)輸過(guò)程中的損耗均為200元/時(shí),其他主要參考數(shù)據(jù)如下:
運(yùn)輸工具 | 途中平均速度 (千米/時(shí)) | 運(yùn)費(fèi) (元/千米) | 裝卸費(fèi)用 (元) |
火車 | 100 | 15 | 2000 |
汽車 | 80 | 20 | 900 |
(1)如果選擇汽車的總費(fèi)用比選擇火車的總費(fèi)用多1100元,那么你知道本市與A市之間的路程是多少千米嗎?請(qǐng)你列方程解答;
(2)若A市與某市之間的路程為s千米,且知道火車與汽車在路上耽誤的時(shí)間分別為2小時(shí)和3.1小時(shí),要想將這批水果運(yùn)往該市進(jìn)行銷售,則當(dāng)s為多少時(shí),選擇火車和汽車運(yùn)輸所需費(fèi)用相同?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某天,小王去朋友家借書,在朋友家停留一段時(shí)間后,返回家中,如圖是他離家的路程 (千米)與時(shí)間 (分)關(guān)系的圖象,根據(jù)圖象信息,下列說(shuō)法正確的是 ( )
A. 小王去時(shí)的速度大于回家的速度 B. 小王去時(shí)走上坡路,回家時(shí)走下坡路
C. 小王去時(shí)所花時(shí)間少于回家所花時(shí)間 D. 小王在朋友家停留了 分
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,﹣3)三點(diǎn),直線l是拋物線的對(duì)稱軸.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和最短時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)M也是直線l上的動(dòng)點(diǎn),且△MAC為等腰三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】操作發(fā)現(xiàn):
(1)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,小明將已知△ABO(如圖1)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到△CDO(如圖2).小明發(fā)現(xiàn)線段AB與CD有特殊的關(guān)系,請(qǐng)你寫出:線段AB與CD的關(guān)系是 .
(2)連結(jié)AD(如圖3),觀察圖形,試說(shuō)明AB+AD>2AO.
(3)連結(jié)BC(如圖4),觀察圖形,直接寫出圖中全等的三角形:
(寫出三對(duì)即可) .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,下列能判定AB∥CD的條件有( )個(gè).
(1)∠B+∠BCD=180°;(2)∠1=∠2;(3)∠3=∠4;(4)∠B=∠5.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知線段AB和CD的公共部分BD=AB= CD,線段AB、CD的中點(diǎn)E,F之間距離是10cm,求AB,CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如果-axym是關(guān)于x,y的單項(xiàng)式,且系數(shù)是4,次數(shù)是5,那么a與m的值分別是________;
(2)如果-(a-2)xym是關(guān)于x,y的五次單項(xiàng)式,那么a與m應(yīng)滿足的條件是____________;
(3)如果單項(xiàng)式2x3y4與-x2zn的次數(shù)相同,那么n=________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,已知△ABC是等腰三角形,∠BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),作正方形DEFG,使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上,連接AE、BG.
(1)試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖②,將正方形DEFG繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α(0°<α≤90°),判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立,證明你的結(jié)論.
(3)若BC=DE=2,在(2)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,求線段AE長(zhǎng)的最大值和最小值
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