精英家教網(wǎng)如圖在Rt△AOB中,∠BAO=90°,O為坐標(biāo)原點(diǎn),B在x軸正半軸上,A在第一象限.OA和AB的長是方程x2-3
5
x+10=0
兩根,且OA<AB.
(1)求直線AB的解析式;
(2)將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊(點(diǎn)C在x軸上,且不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)D在線段AB上),使點(diǎn)B落在x軸上,對應(yīng)點(diǎn)為E,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,0).
①是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
②設(shè)△CDE與△AOB重疊部分的面積為S,直接寫出S與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式(包括自變量x的取值范圍).
分析:(1)根據(jù)題意可直接求出OA、AB的長,又∠BAO=90°,由勾股定理可求OB,作OB邊上的高AF,用面積法及勾股定理可求0F、AF,從而得出A點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)“兩點(diǎn)法”求直線AB解析式.
(2)△AED按直角頂點(diǎn)分為兩類:①A點(diǎn)為直角頂點(diǎn),此時(shí)E、O兩點(diǎn)重合,C點(diǎn)為OB的中點(diǎn);②E點(diǎn)為直角頂點(diǎn),過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F,利用等腰三角形的性質(zhì)解題.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)解方程x2-3
5
x+10=0
得兩根為x1=
5
,x2=2
5

因?yàn)镺A和AB的長是方程x2-3
5
x+10=0
兩根,且OA<AB
所以OA=
5
,AB=2
5

而∠BAO=90°,則OB=
(
5
)
2
+(2
5
)
2
=5

作AF⊥x軸于F,如圖
AF=
OA•AB
OB
=
5
•2
5
5
=2

那么OF=
(
5
)
2
-22
=1

∴A(1,2),B(5,0).
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則有
k+b=2
5k+b=0
,精英家教網(wǎng)
解得
k=-
1
2
b=
5
2

∴直線AB的解析式為y=-
1
2
x+
5
2


(2)①存在.
分兩種情況討論:
。┊(dāng)Rt△AED以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合,如圖.
∵OC=BC=
1
2
OB=
5
2

∴C1
5
2
,0);
ⅱ)當(dāng)Rt△AED以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖,過點(diǎn)A作AF⊥x軸于F.OF=1.精英家教網(wǎng)
∵∠AED=90°,
∴∠AEO+∠DEC=90°.
∵∠DEC=∠DBC,
∴∠AEO+∠DBC=90°.
又∵∠AOE+∠DBC=90°,
∴∠AOE=∠AEO.
∴△AOE是等腰三角形,
∴OE=2OF=2,
∴BE=3.
∴EC=
3
2
,
∴OC=OE+EC=2+
3
2
=
7
2

∴C2
7
2
,0).
綜上所述,存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為:
C1
5
2
,0)和C2
7
2
,0).
②當(dāng)1≤x<
5
2
時(shí),△CDE與△AOB重疊部分的面積即為△CDE的面積,由直角三角形的面積公式即可求解;
S與x之間的函數(shù)關(guān)系式如下:
S=
-
13
12
x2+
50
12
x-
25
12
(1≤x<
5
2
)
1
4
x2-
5
2
x+
25
4
(
5
2
≤x<5)
點(diǎn)評(píng):本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,待定系數(shù)法求直線解析式,折疊問題及分類討論的數(shù)學(xué)思想.
練習(xí)冊系列答案
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如圖在Rt△AOB中,∠BAO=90°,O為坐標(biāo)原點(diǎn),B在x軸正半軸上,A在第一象限,OA和AB的長是方程x2-3
5
x+10=0
兩根,且OA<AB.
(1)求直線AB的解析式;
(2)將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊(點(diǎn)C在x軸上,且不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)D在線段AB上),使點(diǎn)B落在x軸上,對應(yīng)點(diǎn)為E,是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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(1)求直線AB的解析式;
(2)將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊(點(diǎn)C在x軸上,且不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)D在線段AB上),使點(diǎn)B落在x軸上,對應(yīng)點(diǎn)為E,是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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如圖在Rt△AOB中,∠BAO=90°,O為坐標(biāo)原點(diǎn),B在x軸正半軸上,A在第一象限,OA和AB的長是方程兩根,且OA<AB.
(1)求直線AB的解析式;
(2)將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊(點(diǎn)C在x軸上,且不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)D在線段AB上),使點(diǎn)B落在x軸上,對應(yīng)點(diǎn)為E,是否存在這樣的點(diǎn)C,使得△AED為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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