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【題目】如圖,已知拋物線y=-x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,其中點A的坐標為(-3,0).

(1)求b的值及點B的坐標;

(2)試判斷ABC的形狀,并說明理由;

(3)一動點P從點A出發(fā),以每秒2個單位的速度向點B運動,同時動點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位的速度向點C運動(當點P運動到點B時,點Q隨之停止運動),設運動時間為t秒,當t為何值時,PBQABC相似?

【答案】(1),B的坐標為(1,0);(2)ABC是直角三角形,理由見解析;(3)當t=1秒或秒時,PBQABC相似

【解析】

(1)將點A的坐標代入中可解得b的值,由此可得拋物線的解析式,在所得解析式中令y=0得到關于x的方程,解方程即可求得點B的坐標;

(2)由(1)中所得拋物線的解析式可求得點C的坐標,結合點A、B的坐標可求得OA、OB、OCAB的長度,這樣由勾股定理可求得ACBC的長,再證AB2=AC2+BC2可得△ABC是直角三角形;

(3)由題意用含t的代數式表達出BPBQ的長度,結合∠ABC是公共角,∠ACB=90°,分∠PQB=90°∠QPB=90°兩種情況進行討論即可求得△PBQ△ABC相似時對應的t的值.

1)將點A(-3,0)代入拋物線可得:,解得:

∴拋物線的解析式為:,

y=0,得,解得x1=-3, x2=1,

∴點B的坐標為(1,0);

(2)ABC是直角三角形,理由如下:

對于拋物線,令x=0,得y=

∴點C的坐標為(0,,

∴OC=,OA=3,OB=1,AB=4,

Rt△AOC中,由勾股定理可得AC=Rt△COB中,由勾股定理可得BC=2,

∴AC2+BC2=12+4=16=AB2,

∴∠ACB=90°,

∴△ABC是直角三角形;

(3)由題意可得:AP=2t,BP=4-2t,BQ=t,CQ=2-t

△ABC△PBQ,∠ABC∠PBQ是公共角,∠ACB=90°,

∴若PBQABC相似,則∠PQB=90°或∠QPB=90°,

①當∠PQB=90°時,易得ACPQ,則PQB~ACB,

,,解得t=1;

當∠QPB=90°QPB~ACB,

,,解得

綜上所述:當t=1秒或秒時,PBQABC相似.

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