Question

（2012•宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是

AD

的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結論：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正確的是

②③④

（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

分析：連接BD，由GD為圓O的切線，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP為直角，再由一對公共角，得到三角形APF與三角形ABD相似，根據相似三角形的對應角相等可得出∠APF等于∠ABD，根據等量代換及對頂角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，選項②正確；由直徑AB垂直于弦CE，利用垂徑定理得到A為

CE

的中點，得到兩條弧相等，再由C為

AD

的中點，得到兩條弧相等，等量代換得到三條弧相等，根據等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，選項③正確；利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，得到三角形ACQ與三角形ABC相似，根據相似得比例得到AC²=CQ•CB，連接CD，同理可得出三角形ACP與三角形ACD相似，根據相似三角形對應邊成比例可得出AC²=AP•AD，等量代換可得出AP•AD=CQ•CB，選項④正確．

解答：解：∠BAD與∠ABC不一定相等，選項①錯誤；
連接BD，如圖所示：

∵GD為圓O的切線，
∴∠GDP=∠ABD，
又AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，選項②正確；
∵直徑AB⊥CE，
∴A為

CE

的中點，即

AE

=

AC

，
又C為

AD

的中點，∴

AC

=

CD

，
∴

AE

=

CD

，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP，
又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，
∴P為Rt△ACQ的外心，選項③正確；
連接CD，如圖所示：

∵

AC

=

CD

，
∴∠B=∠CAD，
又∵∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴

AC

CQ

=

CB

AC

，即AC²=CQ•CB，
∵

AE

=

AC

，
∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，
∴△ACP∽△ADC，
∴

AC

AD

=

AP

AC

，即AC²=AP•AD，
∴AP•AD=CQ•CB，選項④正確，
則正確的選項序號有②③④．
故答案為：②③④

點評：此題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，以及三角形的外接圓與圓心，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．