【題目】圖1所示的遮陽傘,傘柄垂直于水平地面,其示意圖如圖2、當(dāng)傘收緊時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)A重合;當(dāng)傘慢慢撐開時(shí),動(dòng)點(diǎn)P由A向B移動(dòng);當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí),傘張得最開、已知傘在撐開的過程中,總有PM=PN=CM=CN=6.0分米,CE=CF=18.0分米,BC=2.0分米、設(shè)AP=x分米.
(1)求x的取值范圍;
(2)若∠CPN=60°,求x的值;
(3)設(shè)陽光直射下,傘下的陰影(假定為圓面)面積為y,求y關(guān)于x的關(guān)系式(結(jié)果保留π).
【答案】(1)0≤x≤10;(2)x=6;(3)y=﹣πx2+54πx.
【解析】
(1)根據(jù)題意,得AC=CN+PN,進(jìn)一步求得AB的長(zhǎng),即可求得x的取值范圍;
(2)根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可求解;
(3)連接MN、EF,分別交AC于B、H.此題根據(jù)菱形CMPN的性質(zhì)求得MB的長(zhǎng),再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,求得圓的半徑即可.
(1)∵BC=2分米,AC=CN+PN=12分米,
∴AB=AC﹣BC=10分米,
∴x的取值范圍是:0≤x≤10;
(2)∵CN=PN,∠CPN=60°,
∴△PCN是等邊三角形,
∴CP=6分米,
∴AP=AC﹣PC=6分米,
即當(dāng)∠CPN=60°時(shí),x=6;
(3)連接MN、EF,分別交AC于B、H,
∵PM=PN=CM=CN,
∴四邊形PNCM是菱形,
∴MN與PC互相垂直平分,AC是∠ECF的平分線,
PB==6-,
在Rt△MBP中,PM=6分米,
∴MB2=PM2﹣PB2=62﹣(6﹣x)2=6x﹣x2.
∵CE=CF,AC是∠ECF的平分線,
∴EH=HF,EF⊥AC,
∵∠ECH=∠MCB,∠EHC=∠MBC=90°,
∴△CMB∽△CEH,
∴=,
∴,
∴EH2=9MB2=9(6x﹣x2),
∴y=πEH2=9π(6x﹣x2),
即y=﹣πx2+54πx.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,△OA1B1是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱,再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱,如此作下去,則△B2nA2n+1B2n+1(n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了加強(qiáng)學(xué)生的安全意識(shí),某校組織了學(xué)生參加安全知識(shí)競(jìng)賽,從中抽取了部分學(xué)生成績(jī)(得分?jǐn)?shù)取正
整數(shù),滿分為分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),已知組的頻數(shù)比組的頻數(shù)小,繪制統(tǒng)計(jì)頻數(shù)分別直方圖(未完成)
和扇形統(tǒng)計(jì)圖如下,
請(qǐng)解答下列問題:
()樣本容量為:__________, 為__________.
()為__________, 組所占比例為__________.
()補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.
()若成績(jī)?cè)?/span>分以上記作優(yōu)秀,全校共有名學(xué)生,估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生有__________名.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀理解)利用完全平方公式,可以將多項(xiàng)式變形為的形式,我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法.運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式.
例如:
(問題解決)根據(jù)以上材料,解答下列問題:
(1)用多項(xiàng)式的配方法將多項(xiàng)式化成的形式;
(2)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式;
(3)求證:不論,取任何實(shí)數(shù),多項(xiàng)式的值總為正數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“十字相乘法”能把二次三項(xiàng)式分解因式,對(duì)于形如ax2+bxy+cy2的關(guān)于x,y的二次三項(xiàng)式來說,方法的關(guān)鍵是把x2項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1,a2的積,即a=a1a2,把y2項(xiàng)系數(shù)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1,c2的積,即c=c1c2,并使a1c2+a2c1正好等于xy項(xiàng)的系數(shù)b,那么可以直接寫成結(jié)果:ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y).
例:分解因式:x2﹣2xy﹣8y2.
解:如圖1,其中1=1×1,﹣8=(﹣4)×2,而﹣2=1×2+1×(﹣4).
∴x2﹣2xy﹣8y2=(x﹣4y)(x+2y)
而對(duì)于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解,如圖2,將a分解成mn乘積作為一列,c分解成pq乘積作為第二列,f分解成jk乘積作為第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)則,則原式=(mx+py+j)(nx+qy+k);
例:分解因式:x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解:如圖3,其中1=1×1,﹣3=(﹣1)×3,2=1×2;
而2=1×3+1×(﹣1),1=(﹣1)×2+3×1,3=1×2+1×1;
∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=(x﹣y+1)(x+3y+2)
請(qǐng)同學(xué)們通過閱讀上述材料,完成下列問題:
(1)分解因式:
①6x2﹣17xy+12y2=
②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=
③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=
(2)若關(guān)于x,y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個(gè)一次因式的積,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,3),點(diǎn)B(,0),連接AB,若對(duì)于平面內(nèi)一點(diǎn)C,當(dāng)△ABC是以AB為腰的等腰三角形時(shí),稱點(diǎn)C是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”.
(1)在點(diǎn)C1(﹣2,3+2),點(diǎn)C2(0,﹣2),點(diǎn)C3(3+,﹣)中,線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”是點(diǎn)________;
(2)若點(diǎn)D(m,n)是線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,且∠DAB=60°,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)若直線y=kx+3k上至少存在一個(gè)線段AB的“等長(zhǎng)點(diǎn)”,求k的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是菱形,其中B點(diǎn)坐標(biāo)是(8,2),D點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2),點(diǎn)A在x軸上,則菱形ABCD的周長(zhǎng)是( )
A.2
B.8
C.8
D.12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),且AE=DF,連接BF與DE相交于點(diǎn)G,連接CG與BD相交于點(diǎn)H.給出如下幾個(gè)結(jié)論:①△AED≌△DFB;②S四邊形BCDG=;③若AF=2DF,則BG=6GF;④CG與BD一定不垂直;⑤∠BGE的大小為定值.
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB∥CD,AB=CD,點(diǎn)E、F在BC上,且BF=CE.
(1)求證:△ABE≌△DCF;
(2)試證明:以A、F、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
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