【題目】Rt△ABC中,∠ACB=90°DAB邊上的一點,以BD為直徑作⊙O.與AC相切于點E,連結DE并延長與BC的延長線交于點F

1)求證:EF2=BDCF;

2)若CF=1BD=5.求sinA的值.

【答案】1)見解析;

2sinA=

【解析】

試題(1)連接OE,由AC為圓O的切線,利用切線的性質得到OE垂直于AC,再由BC垂直于AC,得到OEBC平行,根據(jù)ODB的中點,得到EDF的中點,即OE為三角形DBF的中位線,利用中位線定理得到OEBF的一半,再由OEDB的一半,求出BD=BF,證△BHE△ECF相似即可;

2)連接DQ,求出EF,根據(jù)勾股定理求出BE,根據(jù)三角形面積公式求出DQ,根據(jù)勾股定理求出BQ,求出∠BAC=∠BDQ,解直角三角形求出即可.

試題解析:(1)如圖1,連接OE、BE

∵AC與圓O相切,

∴OE⊥AC

∵BC⊥AC,

∴OE∥BC

∵ODB的中點,

∴EDF的中點,即OE△DBF的中位線,

∴OE=BF,

∵OE=BD,

BF=BD

∵BD⊙O直徑,

∴∠BED=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠BEF=∠ECF=90°

∵∠F=∠F,

∴△ECF∽△BEF,

,

∴EF2=BFCF=BDCF

2) 如圖2,連接DQ

∵EF2=BDCF,CF=1,BD=5,

∴EF=,

∵BD⊙O的直徑,

∴DQ⊥BF,BE⊥DF,

∵BD=BFBD=5,

∴BF=5,DE=EF=,

DF=2,

由勾股定理得:BE==2,

△BDF中,由三角形面積公式得:BF×DQ=DF×BE,

∴5DQ=2×2,

∴DQ=4

Rt△BDQ中,BD=5DQ=4,由勾股定理得:BQ=3,

∵∠ACB=90°DQ⊥BF,

∴DQ∥AC,

∴∠A=∠BDQ,

∴sinA=sin∠BDQ=

練習冊系列答案
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