Question

23、如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到x軸的距離是9，拋物線(xiàn)與x軸交于O、M兩點(diǎn)，OM=6；矩形ABCD的邊BC在線(xiàn)段OM上，點(diǎn)A、D在拋物線(xiàn)上．
（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)

（3，9）

、M點(diǎn)的坐標(biāo)

（0，6）

；
（2）求拋物線(xiàn)的解析式；
（3）設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為l，C（x，0），求l與x的關(guān)系式，并求l的最大值．

Answer 1

分析：（1）由拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到x軸的距離是9與拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)O與M，OM=6，即可求得點(diǎn)P與M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)此拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-3）²+9，又由此函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線(xiàn)的解析式；
（3）由點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性與矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)D與B的坐標(biāo)，則可求得CD與BC的長(zhǎng)，則問(wèn)題得解．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)P到x軸的距離是9，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為9，
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)O與M，OM=6，
∴此拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=3，
∴P（3，9），M（0，6）；
故答案為：（3，9），（0，6）；

（2）設(shè)此拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x-3）²+9，
∵此函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，
∴a（0-3）²+9=0，
∴a=-1，
∴此拋物線(xiàn)的解析式為：y=-（x-3）²+9或y=-x²+6x；

（3）∵C（x，0），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），
∴y=-x²+6x，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-x²+6x），
點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6-x，0）
∴BC=6-2x，CD=-x²+6x，
∴l(xiāng)=2（6-2x）+2（-x²+6x）=-2x²+8x+12=-2（x-2）²+20，
∴l(xiāng)與x的關(guān)系式為：l=-2（x-2）²+20，
當(dāng)x=2時(shí)，最大值為20．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．