Question

15．定義：數(shù)學活動課上，兵兵老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．

理解：
（1）如圖1，已知A、B、C在格點（小正方形的頂點）上，請用兩種不同的方法再畫出一個格點D，使四邊形ABCD為對等四邊形；
（2）如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．試說明：四邊形ABCD是對等四邊形；
（3）如圖3，點D，B分別在x軸和y軸上，且D（8，0），cos∠BDO=$\frac{4}{5}$，點A是邊BD上的一點，且AD：AB=4：試在x軸上找一點C，使四邊形ABOC為對等四邊形，請直接寫出所有滿足條件的C點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對等四邊形的定義畫出圖形即可；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，∠ACD=90°，根據(jù)直角三角形全等的判定定理證明Rt△ADB≌Rt△BCA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可；
（3）分OC=AB、AC=OB兩種情況，根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可．

解答 解：（1）如圖1：四邊形ABCD為對等四邊形；
（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，∠ACD=90°，
在Rt△ADB和Rt△BCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=AC}\\{BA=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADB≌Rt△BCA，
∴AD=BC，
∴四邊形ABCD是對等四邊形；
（3）∵D（8，0），
∴OD=8，
cos∠BDO=$\frac{4}{5}$，即$\frac{OD}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=10，
由勾股定理得，OB=$\sqrt{B{D}^{2}-O{D}^{2}}$=6，
∵AD：AB=4，BD=10，
∴AB=2，AD=8，
如圖3，當OC=AB時，C點坐標為（2，0），
如圖4，當AC=OB時，AC=6，
作AE⊥OD于E，
則AE∥OB，
∴$\frac{AE}{OB}$=$\frac{DE}{DO}$=$\frac{DA}{DB}$，即$\frac{AE}{6}$=$\frac{DE}{8}$=$\frac{8}{10}$，
解得AE=$\frac{24}{5}$，DE=$\frac{32}{5}$，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
OE=OD-DE=$\frac{8}{5}$，
則OC=OE+EC=$\frac{26}{5}$，
∴C點坐標為（$\frac{26}{5}$，0），
∴四邊形ABOC為對等四邊形時，C點坐標為：（2，0）或（$\frac{26}{5}$，0）．

點評 本題考查的是圓周角定理、勾股定理的應用以及平行線分線段成比例定理，正確理解對等四邊形的定義、正確運用相關(guān)的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．