【題目】如圖,以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E,連接EO并延長交BC的延長線于點(diǎn)D,點(diǎn)P為BC的中點(diǎn),連接EP,AD.
(1)求證:PE是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3,∠B=30°,求P點(diǎn)到直線AD的距離.
【答案】
(1)
證明:連接CE,如圖所示:
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠AEC=90°.
∴∠BEC=90°.
∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn),
∴EF=BF=CF.
∴∠FEC=∠FCE.
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠OCE.
∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°,
∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°.
∴EF是⊙O的切線;
(2)
解:設(shè)P點(diǎn)到直線AD的距離為d,記△PAD的面積S△PAD,
則有:S△PAD= ADd= PDAC,
∴d= ①
∵⊙O的半徑為3,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,AC=6,AB=12,
由勾股定理得BC=6 ,
∴PC=3 ,
∵O,P分別是AC,BC的中點(diǎn),
∴OP∥AB,
∴∠OPC=∠B=30°,
∵OE=OA,∠OAE=60°,
∴△OEA為等邊三角形,
∴∠EOA=60°,
∴∠ODC=90°﹣∠COD=90°﹣∠EOA=30°,
∴∠ODC=∠OPC=30°,
∴OP=OD,
∵OC⊥PD,
∴CD=PC=3 ,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD= =3 ,
將以上數(shù)據(jù)代入①得:d= = = .
【解析】(1)連接FO,由F為BC的中點(diǎn),AO=CO,得到OF∥AB,由于AC是⊙O的直徑,得出CE⊥AE,根據(jù)OF∥AB,得出OF⊥CE,于是得到OF所在直線垂直平分CE,推出FC=FE,OE=OC,再由∠ACB=90°,即可得到結(jié)論.(2)設(shè)P點(diǎn)到直線AD的距離為d,記△PAD的面積S△PAD , 根據(jù)三角形的面積得到d= ①由勾股定理得BC=6 ,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OPC=∠B=30°,推出△OEA為等邊三角形,得到∠EOA=60°,在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD= =3 ,將以上數(shù)據(jù)代入①得即可得到結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),請只用無刻度的直尺作圖
(1)如圖1,在BC上找點(diǎn)F,使點(diǎn)F是BC的中點(diǎn);
(2)如圖2,在AC上取兩點(diǎn)P,Q,使P,Q是AC的三等分點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn),則PA+PC的最小值為( )
A.
B.
C.2
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,一張△ABC紙片,點(diǎn)D,E分別在線段AC,AB上,將△ADE沿著DE折疊,A與A′重合,若∠A=α,則∠1+∠2=( )
A.α
B.2α
C.180°﹣α
D.180°﹣2α
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個(gè)多邊形的各邊都相等,且各內(nèi)角也都相等,那么這個(gè)多邊形就叫做正多邊形,如圖,就是一組正多邊形,觀察每個(gè)正多邊形中∠α的變化情況,解答下列問題.
(1)將下面的表格補(bǔ)充完整:
正多邊形的邊數(shù) | 3 | 4 | 5 | 6 | …… | 18 |
∠α的度數(shù) |
|
|
|
| …… |
|
(2)根據(jù)規(guī)律,是否存在一個(gè)正n邊形,使其中的∠α=20°?若存在,直接寫出n的值;若不存在,請說明理由.
(3)根據(jù)規(guī)律,是否存在一個(gè)正n邊形,使其中的∠α=21°?若存在,直接寫出n的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于F,連接CF.
(1)求證:△AEF≌△DEB;
(2)若∠BAC=90°,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論;
(3)在(2)的情況下,點(diǎn)M在AC線段上移動(dòng),請直接回答,當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到什么位置時(shí),MB+MD有最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國國家郵政局公布的數(shù)據(jù)顯示,2016年中國快遞業(yè)務(wù)量突破313.5億件,同比增長51.7%,快遞業(yè)務(wù)量位居世界第一,業(yè)內(nèi)人士表示,快遞業(yè)務(wù)連續(xù)6年保持50%以上的高速增長,已成為中國經(jīng)濟(jì)的一匹“黑馬”,未來中國快遞業(yè)務(wù)仍將保持快速增長勢頭,以下是根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖,請你預(yù)估2017年全國快遞的業(yè)務(wù)量大約為(精確的0.1)億元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax2﹣b與y=ax+b(ab≠0)的圖象大致如圖( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中,,將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段AD,其中連結(jié)BD,CD,.
若,,在圖1中補(bǔ)全圖形,并寫出m值.
如圖2,當(dāng)為鈍角,時(shí),m值是否發(fā)生改變?證明你的猜想.
如圖3,,,BD與AC相交于點(diǎn)O,求與的面積比.
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