Question

【題目】如圖1，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是線段AD邊上的一動點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、D重合），連結(jié)PC，過點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于點(diǎn)E，在P點(diǎn)運(yùn)動過程中，圖中各角和線段之間是否存在的某種關(guān)系和規(guī)律？

特例求解

當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，且AP＞AE時，求證：PE=PC．

深入探究

當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動時，對應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動，求整個運(yùn)動過程中BE的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）≤BE＜2．

【解析】

試題分析：(1)特例求解：當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，設(shè)AP=x，證明△APE∽△DCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解一元二次方程求出x的值，再證明△APE≌△DCP即可；(2)深入探究：設(shè)AP=x，AE=y，證明△APE∽△DCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計算出x值，建立y與x的二次函數(shù)關(guān)系，討論最值問題即可．

試題解析：(1)特例求解，∵PE⊥PC，∴∠APE+∠DPC=90°，∵∠D=90°，∴∠DCP+∠DPC=90°，∴∠APE=∠DCP，又∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DCP，∴，設(shè)AP=x，則DP=3﹣x，又當(dāng)E為AB的中點(diǎn)，即AE=BE=1，∴x（3﹣x）=1×2，整理得x2﹣3x+2=0，解得，x1=2，x2=1，∵AP＞AE，∴AP=CD=2，AE=PD=1，∴△APE≌△DCP，∴PE=PC；(2)深入探究,設(shè)AP=x，AE=y，∵△APE∽△DCP，∴，即x（3﹣x）=2y，∴y=x（3﹣x）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時，y的最大值為，∵AE=y取最大值時，BE取最小值為2﹣=，∴BE的取值范圍為≤BE＜2．