【題目】如圖,四邊形OMTN中,OM=ON,TM=TN,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形.
(1)試探究箏形對(duì)角線之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在箏形ABCD中,已知AB=AD=5,BC=CD,BC>AB,BD、AC為對(duì)角線,BD=8,
①是否存在一個(gè)圓使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)都在這個(gè)圓上?若存在,求出圓的半徑;若不存在,請(qǐng)說明理由;
②過點(diǎn)B作BF⊥CD,垂足為F,BF交AC于點(diǎn)E,連接DE,當(dāng)四邊形ABED為菱形時(shí),求點(diǎn)F到AB的距離.
【答案】
(1)
【解答】解:猜想:箏形對(duì)角線之間的位置關(guān)系:垂直.即OT⊥MN.
證明:連接OT,MN,
在△OMT和△ONT中,
,
∴△OMT≌△ONT(SSS),
∴∠MOT=∠NOT,
∵OM=ON,
∴OT⊥MN(等腰三角形三線合一).
(2)
【解答】
①存在.
由(1)得AC⊥BD,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)M,
在Rt△AMB中,AB=5,BM=BD=4,
∴AM==3,
∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
又∵△ABC≌△ADC,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∴AC即為所求圓的直徑
∵∠BAM=∠BAC,∠ABC=∠AMB=90°,
∴△ABM∽△ACB,
∴=,即=,
∴AC=
∴圓的半徑為:AC=.
②作FM⊥AB,作EG⊥AB于G.
∵四邊形ABED是菱形,
∴AE⊥BD,且BN=BD=4,
∴AN=NE===3,AE=6.
∴S菱形ABED=AEBD=×6×8=24,
又∵S菱形ABED=ABEG,
∴EG=.
∵∠DBF=∠DBF,∠BNE=∠BFD,
∴△BNE∽△BFD,
∴,即,
∴BF=.
∵GE⊥AB,F(xiàn)M⊥AB,
∴GE∥FM,
∴△BEG∽△BFM,
∴,即,
解得:FM=.
【解析】(1)證明△OMP≌△ONP,即可證得MN⊥OT,且OT平分MN;
(2)①若經(jīng)過A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)的圓存在,則對(duì)角互補(bǔ),據(jù)此即可判斷;
②已知FM⊥AB,作EG⊥AB于G,根據(jù)菱形的面積公式求得GE的長,然后根據(jù)△BNE∽△BFD求得BF的長,再根據(jù)△BEG∽△BFM求得FM的長.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握相似三角形的切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在甲口袋中有三張完全相同的卡片,分別標(biāo)有﹣1,1,2,乙口袋中有完全相同的卡片,分別標(biāo)有﹣2,3,4,從這兩個(gè)口袋中各隨機(jī)取出一張卡片.
(1)用樹狀圖或列表表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;
(2)求兩次取出卡片的數(shù)字之積為正數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市居民用電的電價(jià)實(shí)行階梯收費(fèi),收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表:
一戶居民每月用電量x(單位:度) | 電費(fèi)價(jià)格(單位:元/度) |
0<x≤200 | a |
200<x≤400 | b |
x>400 | 0.92 |
(1)已知李叔家四月份用電286度,繳納電費(fèi)178.76元;五月份用電316度,繳納電費(fèi)198.56元,請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù),求出表格中a,b的值.
(2)六月份是用電高峰期,李叔計(jì)劃六月份電費(fèi)支出不超過300元,那么李叔家六月份最多可用電多少度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸上,函數(shù)y=的圖象過點(diǎn)P(4,3)和矩形的頂點(diǎn)B(m,n)(0<m<4).
(1)求k的值.
(2)連接PA,PB,若△ABP的面積為6,求直線BP的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】11月讀書節(jié),深圳市為統(tǒng)計(jì)某學(xué)校初三學(xué)生讀書狀況,如下圖:
(1)求三本以上的x值、參加調(diào)查的總?cè)藬?shù),并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(2)三本以上的圓心角為 ° .
(3)全市有6.7萬學(xué)生,三本以上有 人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,請(qǐng)你用尺規(guī)作圖將△ABC分成兩個(gè)全等的三角形,并說明這兩個(gè)三角形全等的理由.(保留作圖痕跡,不寫作法)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,△OA1B1是邊長為2的等邊三角形,作△B2A2B1與△OA1B1關(guān)于點(diǎn)B1成中心對(duì)稱,再作△B2A3B3與△B2A2B1關(guān)于點(diǎn)B2成中心對(duì)稱,如此作下去,則△B2nA2n+1B2n+1(n是正整數(shù))的頂點(diǎn)A2n+1的坐標(biāo)是( 。
A.(4n﹣1,)
B.(2n﹣1,)
C.(4n+1,)
D.(2n+1,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國慶期間,為了滿足百姓的消費(fèi)需求,某商店計(jì)劃用170000元購進(jìn)一批家電,這批家電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表:
類別 | 彩電 | 冰箱 | 洗衣機(jī) |
進(jìn)價(jià)(元/臺(tái)) | 2000 | 1600 | 1000 |
售價(jià)(元/臺(tái)) | 2300 | 1800 | 1100 |
若在現(xiàn)有資金允許的范圍內(nèi),購買表中三類家電共100臺(tái),其中彩電臺(tái)數(shù)是冰箱臺(tái)數(shù)的2倍,設(shè)該商店購買冰箱x臺(tái).
(1)商店至多可以購買冰箱多少臺(tái)?
(2)購買冰箱多少臺(tái)時(shí),能使商店銷售完這批家電后獲得的利潤最大?最大利潤為多少元?
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