Question

（11·兵團(tuán)維吾爾）（10分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠
B＝45°．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)C出發(fā)沿CD
向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AB的長(zhǎng)；
（2）設(shè)BP＝x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)△PCQ的面積最大，并求出最大值；
（3）探究：在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）作AE⊥BC，

∵等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，
∴BE＝(BC－AD)÷2＝2.5，
∵∠B＝45°，

（2）作QF⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，BP＝x，
∴BP＝CQ＝x，
∵BC＝9，

（3）假設(shè)AB上存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形，

∵等腰梯形ABCD，∠B＝∠C＝45°，
∴CQ＝CP＝BP＝MP，∠B＝∠C＝∠MPB＝45°，
∴∠BMP＝45°，
∵∠B＝∠MPB＝∠BMP＝45°，不符合三角形內(nèi)角和定理，
∴假設(shè)不存在，
∴邊AB上不存在點(diǎn)M，使得四邊形PCQM為菱形．

略