【題目】(1)問題情境:如圖1,在正方形ABCD中,E、F、G、H分別為AB,BC,CD,DA邊上的動(dòng)點(diǎn),連接EG,HF相交于點(diǎn)O,且∠HOE=∠ADC.試探究:EG與FH的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)拓展延伸:如圖2,在菱形ABCD中,E、F、G、H分別為AB,BC,CD,DA邊上的動(dòng)點(diǎn),連接EG,HF相交于點(diǎn)O,且∠HOE=∠ADC,試探究:(1)中EG與FH的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?并說明理由.
(3)反思提升:若將(2)中的菱形ABCD改為平行四邊形ABCD(如圖3),AB=a,AD=b,其他條件不變,則的猜想正確嗎?請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)EG=FH,理由見解析;(2)成立,理由見解析;(3)正確,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)過G作GM⊥AB于M,過H作HN⊥BC于N,由正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)易得GM=HN,再利用四邊形的內(nèi)角和為360°,可得∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°,易得∠HFN=∠GEM,由AAS定理可證得△GME≌△HNF,利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(2)過G作GM⊥AB于M,過H作HN⊥BC于N,由菱形的性質(zhì)可得DC=AB=BC,AD∥BC,DC∥AB,利用菱形的面積公式易得GM=HN,由AAS定理,易證得△GME≌△HNF,又全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論;
(3)過G作GM⊥AB于M,過H作HN⊥BC于N,利用平行四邊形的性質(zhì)和面積公式可得,易得△GME∽△HNF,利用相似三角形的性質(zhì)可得猜想正確.
試題解析:(1)EG=FH
理由是:如圖1,過G作GM⊥AB于M,過H作HN⊥BC于N,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠D=∠A=∠B=∠C=90°,
又∵GM⊥AB,HN⊥BC
∴四邊形ADGM、四邊形AHNB是矩形,
∴HN=AB,AD=GM,
∴HN=GM,
∵∠ADC=∠HOE=90°,
∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°,
∵AD∥BC,DC∥AB,
∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,
∴∠HFN=∠GEM,
∵HN⊥BC,GM⊥AB,
∴∠GME=∠HNF=90°,
在△GME和△HNF中
,
∴△GME≌△HNF(AAS),
∴EG=FH;
(2)EG=FH,
理由是:如圖2,過G作GM⊥AB于M,過H作HN⊥BC于N,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴DC=AB=BC,AD∥BC,DC∥AB,
∵菱形ABCD的面積S=AB×GM=BC×HN,
∴GM=HN,
∵GM⊥AB,HN⊥BC,
∴∠GME=∠HNF=90°,
∵∠ADC=∠HOE,
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°,
∵AD∥BC,DC∥AB,
∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,
∴∠HFN=∠GEM,
在△GME和△HNF中
,
∴△GME≌△HNF(AAS),
∴EG=FH;
(3)正確.
理由是:如圖3,過G作GM⊥AB于M,過H作HN⊥BC于N,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,DC∥AB,
∵平行四邊形ABCD的面積S=AB×GM=BC×HN
∵AB=a,AD=b,
∴,
∵GM⊥AB,HN⊥BC,
∴∠GME=∠HNF=90°,
∵∠ADC=∠HOE,
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°,
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°,
∵AD∥BC,DC∥AB,
∴∠NFH=∠DHF,∠DGE+∠GEM=180°,
∴∠HFN=∠GEM,
∴△GME∽△HNF,
∴.
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