Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）圖象的頂點(diǎn)分別為M，N，與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）和C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊）．

（1）函數(shù)y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為______；當(dāng)二次函數(shù)L1，L2的y值同時(shí)隨著x的增大而增大時(shí)，則x的取值范圍是______；

（2）當(dāng)AD＝MN時(shí)，判斷四邊形AMDN的形狀（直接寫出，不必證明）；

（3）拋物線L1，L2均會(huì)分別經(jīng)過某些定點(diǎn)，

①求所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若拋物線L1位置固定不變，通過左右平移拋物線L2的位置使這些定點(diǎn)組成的圖形為菱形，則拋物線L2應(yīng)平移的距離是多少？

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3；（2）四邊形AMDN是矩形；（3）①L1經(jīng)過（﹣3，1）、（1，1）兩點(diǎn)，L2經(jīng)過（1，﹣1）、（5，﹣1）兩點(diǎn)；②L2應(yīng)平移的距離是或．

【解析】

（1）將已知拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，直接得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；結(jié)合函數(shù)圖象填空；

（2）利用拋物線解析式與一元二次方程的關(guān)系求得點(diǎn)A、B、C、D的橫坐標(biāo)，可得AD的中點(diǎn)為（1，0），MN的中點(diǎn)為（1，0），則AD與MN互相平分，可判斷四邊形AMDN是矩形；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得EH1＝EF＝4即可，設(shè)平移的距離為x，根據(jù)平移后圖形為菱形，由勾股定理可得方程即可求解．

（1）x＝﹣＝﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)M為（﹣1，﹣4m+1），

由圖象得：當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，二次函數(shù)L1，L2的y值同時(shí)隨著x的增大而增大．

故答案為：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3

（2）結(jié)論：四邊形AMDN是矩形．

（3）①∵二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1，

故當(dāng)x＝﹣3或x＝1時(shí)y＝1，即二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1經(jīng)過（﹣3，1）、（1，1）兩點(diǎn)，

∵二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1，

故當(dāng)x＝1或x＝5時(shí)y＝﹣1，即二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1經(jīng)過（1，﹣1）、（5，﹣1）兩點(diǎn)，

②∵二次函數(shù)L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1經(jīng)過（﹣3，1）、（1，1）兩點(diǎn)，二次函數(shù)L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1經(jīng)過（1，﹣1）、（5，﹣1）兩點(diǎn)，

如圖：四個(gè)定點(diǎn)分別為E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），則組成四邊形EFGH為平行四邊形，

設(shè)平移的距離為x，根據(jù)平移后圖形為菱形，

由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2．

解得：x＝，

拋物線L1位置固定不變，通過左右平移拋物線L2的位置使這些定點(diǎn)組成的圖形為菱形，則拋物線L2應(yīng)平移的距離是或．