Question

已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為A（-1，0），求此拋物線的解析式，并求出與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，
∴△＞0，
∴（-1）²-4×k＞0，
∴解得k＜；

（2）將A（-1，0）代入得，
+1+k=0，
解得k=-，
則函數(shù)解析式為y=x²-x-．
當(dāng)y=0時，x²-x-=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
于是B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（3）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，y），y＞0，
因以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，
則①△OCB∽△OAD，=，
即=，
解得OD=，故D（0，）；
②△OCB∽△ODA，=，
即OD=，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，）或（0，）．
分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)與相對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式的關(guān)系即可解答；
（2）將A（-1，0）代入即可求出k的值，從而得到拋物線的解析式．
（3）根據(jù)題意，分△OCB∽△OAD和△OCB∽△ODA兩種情況討論．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及拋物線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，要注意分類討論．