Question

【題目】如圖，已知：四邊形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，∠ACB＝74°，∠ABC＝46°，且∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠BDC的度數為_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】

延長BA和BC，過D點作DE⊥BA于E點，過D點作DF⊥BC于F點，根據BD是∠ABC的平分線可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，過D點作DG⊥AC于G點，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，進而得出CD為∠ACF的平分線，得出∠DCA=53°，再根據三角形內角和定理即可得出結論．

解：

延長BA和BC，過D點作DE⊥BA于E點，過D點作DF⊥BC于F點，

∵BD是∠ABC的平分線

在△BDE與△BDF中， ，

∴△BDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF，

又∵∠BAD+∠CAD＝180°

∠BAD+∠EAD＝180°

∴∠CAD＝∠EAD，

∴AD為∠EAC的平分線，

過D點作DG⊥AC于G點，

在Rt△ADE與Rt△ADG中， ，

∴△ADE≌△ADG（HL），

∴DE＝DG，

∴DG＝DF．

在Rt△CDG與Rt△CDF中， ，

∴Rt△CDG≌Rt△CDF（HL），

∴CD為∠ACF的平分線，

∠ACB＝74°，

∴∠DCA＝53°，

∴∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠DCA﹣∠ACB＝180°﹣23°﹣53°﹣74°＝30°．

故答案為：30°