【題目】實驗中學(xué)學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形性質(zhì)“三線合一”時
(1)(探究發(fā)現(xiàn))如圖1,在△ABC中,若AD平分∠BAC,AD⊥BC時,可以得出AB=AC,D為BC中點,請用所學(xué)知識證明此結(jié)論.
(2)(學(xué)以致用)如果Rt△BEF和等腰Rt△ABC有一個公共的頂點B,如圖2,若頂點C與頂點F也重合,且∠BFE=∠ACB,試探究線段BE和FD的數(shù)量關(guān)系,并證明.
(3)(拓展應(yīng)用)如圖3,若頂點C與頂點F不重合,但是∠BFE=∠ACB仍然成立,(學(xué)以致用)中的結(jié)論還成立嗎?證明你的結(jié)論.
【答案】(1)見解析;(2)結(jié)論:DF=2BE;(3)結(jié)論不變:DF=2BE.
【解析】
(1)只要證明△ADB≌△ADC(ASA)即可.
(2)結(jié)論:DF=2BE.如圖2中,延長BE交CA的延長線于K.想辦法證明△BAK≌△CAD(ASA)即可解決問題.
(3)如圖3中,結(jié)論不變:DF=2BE.作FK∥CA交BE的延長線于K,交AB于J.利用(2)中結(jié)論證明即可.
解:(1)如圖1中,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵DA平分∠BAC,
∴∠DAB=∠DAC,
∵AD=AD,
∴△ADB≌△ADC(ASA),
∴AB=AC,BD=DC.
(2)結(jié)論:DF=2BE.
理由:如圖2中,延長BE交CA的延長線于K.
∵CE平分∠BCK,CE⊥BK,
∴由(1)中結(jié)論可知:CB=CK,BE=KE,
∵∠∠BAK=∠CAD=∠CEK=90°,
∴∠ABK+∠K=90°,∠ACE+∠K=90°,
∴∠ABK=∠ACD,
∵AB=AC,
∴△BAK≌△CAD(ASA),
CD=BK,
∴CD=2BE,即DF=2BE.
(3)如圖3中,結(jié)論不變:DF=2BE.
理由:作FK∥CA交BE的延長線于K,交AB于J.
∵FK∥AC,
∴∠FJB=∠A=90°,∠BFK=∠BCA,
∵∠JBF=45°,
∴△BJF是等腰直角三角形,
∵∠BFE=ACB,
∴∠BFE=∠BFJ,
由(2)可知:DF=2BE.
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【題目】如圖所示,OE和OD分別是∠AOB和∠BOC的平分線,且∠AOB=90°,∠EOD=67.5°的度數(shù).
(1)求∠BOD的度數(shù);
(2)∠AOE與∠BOC互余嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知:如圖,在△ABC中,M是邊AB的中點,D是邊BC延長線上一點,,DN∥CM,交邊AC于點N.
(1)求證:MN∥BC;
(2)當(dāng)∠ACB為何值時,四邊形BDNM是等腰梯形?并證明你的猜想.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實踐
問題情境
在數(shù)學(xué)活動課上,老師和同學(xué)們以“線段與角的共性”為主題開展數(shù)學(xué)活動.發(fā)現(xiàn)線段的中點的概念與角的平分線的概念類似,甚至它們在計算的方法上也有類似之處,它們之間的題目可以轉(zhuǎn)換,解法可以互相借鑒.如圖1,點是線段上的一點,是的中點,是的中點.
圖1 圖2 圖3
(1)問題探究
①若,,求的長度;(寫出計算過程)
②若,,則___________;(直接寫出結(jié)果)
(2)繼續(xù)探究
“創(chuàng)新”小組的同學(xué)類比想到:如圖2,已知,在角的內(nèi)部作射線,再分別作和的角平分線,.
③若,求的度數(shù);(寫出計算過程)
④若,則_____________;(直接寫出結(jié)果)
(3)深入探究
“慎密”小組在“創(chuàng)新”小組的基礎(chǔ)上提出:如圖3,若,在角的外部作射線,再分別作和的角平分線,,若,則__________.(直接寫出結(jié)果)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某教育局為了解本地八年級學(xué)生參加社會實踐活動情況,隨機抽查了部分八年級學(xué)生第一學(xué)期參加社會實踐活動的天數(shù),并用得到的數(shù)據(jù)繪制了兩幅統(tǒng)計圖,下面給出了兩幅不完整的統(tǒng)計圖(如圖)
請根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(1)α= ,并寫出該扇形所對圓心角的度數(shù)為 ,請補全條形圖.
(2)在這次抽樣調(diào)查中,眾數(shù)和中位數(shù)分別是多少?
(3)如果該地共有八年級學(xué)生2000人,請你估計“活動時間不少于7天”的學(xué)生人數(shù)大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公交公司有A,B型兩種客車,它們的載客量和租金如下表:
A | B | |
載客量(人/輛) | 45 | 30 |
租金(元/輛) | 400 | 280 |
紅星中學(xué)根據(jù)實際情況,計劃租用A,B型客車共5輛,同時送七年級師生到基地參加社會實踐活動,設(shè)租用A型客車x輛,根據(jù)要求回答下列問題:
(1)用含x的式子填寫下表:
車輛數(shù)(輛) | 載客量(人) | 租金(元) | |
A | x | 45x | 400x |
B | 5-x |
(2)若要保證租車費用不超過1900元,求x的最大值;
(3)在(2)的條件下,若七年級師生共有195人,寫出所有可能的租車方案,并確定最省錢的租車方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了從個外形相同的雞蛋中找出唯一的一個雙黃蛋,檢查員將這些蛋按的序號排成一列,第一次先從中取出序號為單數(shù)的蛋,發(fā)現(xiàn)其中沒有雙黃蛋;他將剩下的蛋在原來的位置上又按編了序號(即原來的號變?yōu)?/span>號,原來的號變?yōu)?/span>號,),又從中取出新序號為單數(shù)的蛋進(jìn)行檢查,仍沒有發(fā)現(xiàn)雙黃蛋;如此繼續(xù)下去,檢查到最后一個原始編號為的蛋才是雙黃蛋.那么最大值是_________,如果最后找到的是原始編號為的雙黃蛋,則的最大值是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在綜合與實踐課上,老師請同學(xué)們以“兩條平行線,和一塊含角的直角三角尺(,)”為主題開展數(shù)學(xué)活動.
(1)如圖(1),把三角尺的角的頂點放在上,若,求的度數(shù);
(2)如圖(2),小穎把三角尺的兩個銳角的頂點、分別放在和上,請你探索并說明與之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)如圖(3),小亮把三角尺的直角頂點放在上,角的頂點落在上.若,,請用含,的式子直接表示與的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,,點D在邊BC上與B,C不重合,四邊形ADEF為正方形,過點F作,交CA的延長線于點G,連接FB,交DE于點Q,得出以下結(jié)論:;:2;;其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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