【題目】如圖1,我們把對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(l)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問(wèn)四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)性質(zhì)探宄:試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.

猜想結(jié)論:(要求用文字語(yǔ)言敘述)

寫(xiě)出證明過(guò)程(先畫(huà)出圖形,寫(xiě)出已知、求證)

(3)問(wèn)題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長(zhǎng).

【答案】(1)四邊形ABCD是垂美四邊形,理由見(jiàn)解析;(2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等,過(guò)程見(jiàn)解析;(3)GE=

【解析】試題分析:1)根據(jù)垂直平分線(xiàn)的判定定理可得,直線(xiàn)AC是線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn),結(jié)論得證;

2)根據(jù)垂直的定義可得∠AED=AEB=BEC=CED=90°,由勾股定理得AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,進(jìn)而得到答案;

3)連接CG、BE,由題意易得GAB≌△CAE,可知∠ABG=AEC,進(jìn)而得到四邊形BCGE是垂美四邊形;接下來(lái)根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理以及(2)的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算求解,即可完成解答.

試題解析:

解:(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.

證明:∵AB=AD,

∴點(diǎn)A在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上,

CB=CD,

∴點(diǎn)C在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上,

∴直線(xiàn)AC是線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn),

ACBD,即四邊形ABCD是垂美四邊形;

2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等.

如圖2,已知四邊形ABCD中,ACBD,垂足為E,

求證:AD2+BC2=AB2+CD2

證明:∵ACBD

∴∠AED=AEB=BEC=CED=90°,

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,

AD2+BC2=AB2+CD2

3)連接CG、BE,

∵∠CAG=BAE=90°,

∴∠CAG+BAC=BAE+BAC,即∠GAB=CAE,

在△GAB和△CAE中,

,

∴△GAB≌△CAE

∴∠ABG=AEC,又∠AEC+AME=90°

∴∠ABG+AME=90°,即CEBG,

∴四邊形CGEB是垂美四邊形,

由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,

AC=4,AB=5

BC=3,CG=4,BE=5,

GE2=CG2+BE2﹣CB2=73,

GE=

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