Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n．

（1）若m＝4，矩形ABCD的邊CD上是否存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°？寫出點(diǎn)P存在或不存在的可能情況和此時(shí)n滿足的條件．

（2）矩形ABCD的邊上是否存在點(diǎn)P，使得∠APB＝60°？寫出點(diǎn)P存在或不存在的可能情況和此時(shí)m、n滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)0＜n＜2時(shí)，CD上存在2個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝90°；②當(dāng)n＝2時(shí)，CD上存在1個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝90°；③當(dāng)n＞2時(shí)，CD上不存在滿足條件的點(diǎn)P；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據(jù)直角的定義與矩形的關(guān)系作圖即可分析；

（2）根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形即可求解.

（1）①如圖，當(dāng)0＜n＜2時(shí)，CD上存在2個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝90°；

②如圖當(dāng)n＝2時(shí)，CD上存在1個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝90°；

③如圖當(dāng)n＞2時(shí)，CD上不存在滿足條件的點(diǎn)P．

（2）①如圖，當(dāng)=tan60°=時(shí)，n＝m時(shí)，矩形ABCD的邊上存在2個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝60°；

②故當(dāng)n＜m時(shí)，矩形ABCD的邊上不存在點(diǎn)P，使得∠APB＝60°；

③如圖，當(dāng)△ABP為等邊三角形時(shí)，當(dāng) =tan60°=，即n＝m時(shí)，矩形ABCD的邊上存在3個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝60°；

④如圖，故當(dāng)m＜n＜m時(shí)，矩形ABCD的邊上存在4個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝60°；

⑤如圖，當(dāng)n＞m時(shí)，矩形ABCD的邊上存在2個(gè)點(diǎn)P，使得∠APB＝60°．