Question

【題目】已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點A，B兩點，交y軸于C點，拋物線的對稱軸與x軸交于H點，分別以OC、OA為邊作矩形AECO．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖2，P為直線AC上方拋物線上的任意一點，在對稱軸上有一動點M，當四邊形AOCP面積最大時，求|PM﹣OM|的最大值．

（3）如圖3，將△AOC沿直線AC翻折得△ACD，再將△ACD沿著直線AC平移得△A'C′D'．使得點A′、C'在直線AC上，是否存在這樣的點D′，使得△A′ED′為直角三角形？若存在，請求出點D′的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝x+2；(2) 點M坐標為（﹣2，）時，四邊形AOCP的面積最大，此時|PM﹣OM|有最大值； (3)存在，D′坐標為：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．

【解析】

（1）令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝2或﹣6，求出點A、B、C坐標，即可求解；

（2）連接OP交對稱軸于點M，此時，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；

（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三種情況利用勾股定理列方程求解即可．

（1）令x＝0，則y＝2，令y＝0，則x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函數對稱軸為：x＝﹣2，頂點坐標為（﹣2，），C點坐標為（0，2），則過點C的直線表達式為：y＝kx+2，將點A坐標代入上式，解得：k，則：直線AC的表達式為：yx+2；

（2）如圖，過點P作x軸的垂線交AC于點H．

四邊形AOCP面積＝△AOC的面積+△ACP的面積，四邊形AOCP面積最大時，只需要△ACP的面積最大即可，設點P坐標為（m，m2m+2），則點G坐標為（m，m+2），S△ACPPGOA（m2m+2m﹣2）6m2﹣3m，當m＝﹣3時，上式取得最大值，則點P坐標為（﹣3，）．連接OP交對稱軸于點M，此時，|PM﹣OM|有最大值，直線OP的表達式為：yx，當x＝﹣2時，y，即：點M坐標為（﹣2，），|PM﹣OM|的最大值為：=．

（3）存在．

∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，設：EM＝a，則：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a，則：MC，過點D作x軸的垂線交x軸于點N，交EC于點H．在Rt△DMC中，DHMCMDDC，即：DH2，則：DH，HC，即：點D的坐標為（）；

設：△ACD沿著直線AC平移了m個單位，則：點A′坐標（﹣6），點D′坐標為（），而點E坐標為（﹣6，2），則==36，==，==．若△A′ED′為直角三角形，分三種情況討論：

①當+=時，36+=，解得：m=，此時D′（）為（0，4）；

②當+=時，36+=，解得：m=，此時D′（）為（－6，2）；

③當+=時，+=36，解得：m=或m=，此時D′（）為（－6，2）或（，）．

綜上所述：D坐標為：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．