閱讀以下短文,然后解決下列問(wèn)題:
如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的矩形為三角形的“友好矩形”,如圖①所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”,顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),其“友好矩形”只有一個(gè).
(1)仿照以上敘述,說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”;
(2)如圖②,若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖②中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大;
(3)若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖③中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明.精英家教網(wǎng)
分析:(1)類(lèi)似“友好矩形”的定義,即可寫(xiě)出“友好平行四邊形”的定義:
如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”;
(2)根據(jù)定義,則分別讓直角三角形的直角邊或斜邊當(dāng)矩形的一邊,過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)作它的對(duì)邊,從而畫(huà)出矩形.根據(jù)每個(gè)矩形和直角三角形的面積的關(guān)系,比較兩個(gè)矩形的面積大;
(3)分別以三角形的一邊當(dāng)矩形的另一邊,過(guò)第三個(gè)頂點(diǎn)作矩形的對(duì)邊,從而畫(huà)出矩形,根據(jù)三角形和矩形的面積公式,可知三個(gè)矩形的面積相等,設(shè)矩形的面積是S,三角形的三條邊分別是a,b,c.根據(jù)矩形的面積由其中一邊表示出矩形的另一邊,進(jìn)一步求得其周長(zhǎng),運(yùn)用求差法比較它們的周長(zhǎng)的大。
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.     

(2)此時(shí)共有2個(gè)友好矩形,如圖的BCAD、ABEF.     
易知,矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面積相等.                

(3)此時(shí)共有3個(gè)友好矩形,如圖的BCDE、CAFG及ABHK,
其中的矩形ABHK的周長(zhǎng)最。                        

證明如下:
易知,這三個(gè)矩形的面積相等,令其為S,設(shè)矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1,L2,L3,精英家教網(wǎng)
△ABC的邊長(zhǎng)BC=a,CA=b,AB=c,則:
L1=
2S
a
+2a,L2=
2S
b
+2b,L3=
2S
c
+2c,
∴L1-L2=(
2S
a
+2a)-(
2S
b
+2b)=-
2s
ab
(a-b)+2(a-b)=2(a-b)
ab-S
ab

而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2
同理可得,L2>L3
∴L3最小,即矩形ABHK的周長(zhǎng)最小.
點(diǎn)評(píng):理解該題中的新定義,能夠根據(jù)定義正確畫(huà)出符合要求的圖形,掌握三角形和矩形的面積公式,能夠運(yùn)用求差法比較數(shù)的大小.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀以下短文,然后解決下列問(wèn)題:

如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的矩形為三角形的“友好矩形”。如圖(1)所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”。顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),其“友好矩形”只有一個(gè)。

1.仿照以上敘述,說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”

2.如圖(2),若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖(2)

中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大。

3.若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖(3)中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長(zhǎng)最大的矩形。(標(biāo)上字母)

 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀以下短文,然后解決下列問(wèn)題:
如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的矩形為三角形的“友好矩形”。如圖(1)所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”。顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),其“友好矩形”只有一個(gè)。

【小題1】仿照以上敘述,說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”
【小題2】如圖(2),若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖(2)
中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大。

【小題3】若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖(3)中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長(zhǎng)最大的矩形。(標(biāo)上字母)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年浙江杭州蕭山瓜瀝片八年級(jí)第二學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

閱讀以下短文,然后解決下列問(wèn)題:
如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的矩形為三角形的“友好矩形”。如圖(1)所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”。顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),其“友好矩形”只有一個(gè)。

【小題1】仿照以上敘述,說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”
【小題2】如圖(2),若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖(2)
中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大小;

【小題3】若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖(3)中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長(zhǎng)最大的矩形。(標(biāo)上字母)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013屆浙江杭州蕭山瓜瀝片八年級(jí)第二學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀以下短文,然后解決下列問(wèn)題:

如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的矩形為三角形的“友好矩形”。如圖(1)所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”。顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),其“友好矩形”只有一個(gè)。

1.仿照以上敘述,說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”

2.如圖(2),若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖(2)

中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大。

3.若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖(3)中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長(zhǎng)最大的矩形。(標(biāo)上字母)

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案