Question

【題目】本市新建一座圓形人工湖，為測(cè)量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A，B，C三根木柱，使得A，B之間的距離與A，C之間的距離相等，并測(cè)得BC長為120米，A到BC的距離為4米，如圖所示．
（1）請(qǐng)你幫他們求出該湖的半徑；
（2）如果在圓周上再另取一點(diǎn)P，建造一座連接B，C，P三點(diǎn)的三角形藝術(shù)橋，且△BCP為直角三角形，問：這樣的P點(diǎn)可以有幾處？如何找到？

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)圓心為點(diǎn)O，連接OB，OA，OA交線段BC于點(diǎn)D，

∵AB=AC，

∴ = ，

∴OA⊥BC，

∴BD=DC= BC=60

∵DA=4米，

在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2，

設(shè)OB=x米，

則x2=（x﹣4）2+602，

解得x=452．

∴人工湖的半徑為452米

（2）解：這樣的P點(diǎn)可以有2處，過點(diǎn)B或點(diǎn)C作BC的垂線交圓于一點(diǎn)，此點(diǎn)即為P點(diǎn)．

【解析】（1）設(shè)圓心為點(diǎn)O，連接OB，OA，AB=AC，得出 = ，再根據(jù)等弦對(duì)等弧，得出點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)．結(jié)合垂徑定理的推論，知OA垂直平分弦，設(shè)圓的半徑，結(jié)合垂徑定理和勾股定理列出關(guān)于半徑的方程，即可求得圓的半徑；（2）根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用垂徑定理的推論的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握推論1：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧B、弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧C、平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條��；推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．