Question

如圖，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB=

 

度．（提示：如圖將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′）．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的逆定理

專題：計(jì)算題

分析：先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=60°，于是可將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，如圖，連結(jié)PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，則可判斷△APP′為等邊三角形，得到∠PP′A=60°，PP′=AP=3，接著利用勾股定理的逆定理證明△PP′C為直角三角形，∠PP′C=90°，然后利用∠APB=∠∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，如圖，連結(jié)PP′，
∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，
∴△APP′為等邊三角形，
∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3，
在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴△PP′C為直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°．
∴∠APB=150°．
故答案為150．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理．