Question

給出下列命題：①在△ABC中，AD是BC邊上的高線，且AB²=BD•BC，則∠BAC=Rt∠；②在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD和∠BCD，則這個四邊形的對角線互相垂直；③兩個相似的直角三角形的斜邊互相垂直，則它們的另外兩條對應邊分別互相垂直．
在上述命題中，正確的命題是

 

（把正確命題的序號寫在橫線上）

Answer 1

分析：（1）根據AB²=BD•BC和∠B=∠B得到△ABC∽△CBA，從而求出∠BAC=90°；
（2）證出△ADC≌△ABC，繼而證明△ADO≌△ABO；從而得到∠AOD=∠AOB=90°；
（3）根據△DGH∽△FCH和直角三角形的性質，得到EF⊥BC．

解答：解：（1）如圖，
∵AB²=BD•BC，
∴

AB

BD

=

BC

AB

，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBA，
∴∠BAC=∠BDC，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
故本選項正確；

（2）∵∠DAC=∠BAC；AC=AC；∠DCA=∠BCA；
∴△ADC≌△ABC；
∴AD=AB；
∴在△ADO和△ABO中，
AD=AB；∠DAO=∠BAO；AO=AO；
∴△ADO≌△ABO；
∴∠AOD=∠AOB=90°．
故本選項正確；

（3）如圖，DF⊥AC，
易得△DGH∽△FCH，
∴∠D=∠CFD，
∴∠D+∠EFD=90°，
∠CFD+∠EFD=90°，
∴EF⊥BC．
同理可證，ED⊥AB．
故本選項正確．

故答案為：①②③．

點評：此題有三個命題，均考查了相似三角形的性質與判定或全等三角形的判定與性質，可見其在解題中的作用，要認真領會．