Question

【題目】探究：已知，如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

（1）畫出點(diǎn)D關(guān)于直線AC、BC的對(duì)稱點(diǎn)M、N；

（2）在（1）的條件下，連接MN

①求證：M、C、N三點(diǎn)在同一條直線上；

②求MN的最小值．

應(yīng)用：已知，如圖2，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝CB，AB＝3，△ABC的面積為S，點(diǎn)D、E、F分別是AB、AC、BC上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)用含S的代數(shù)式直接表示△DEF的周長(zhǎng)的最小值，并在圖2中畫出符合題意的圖形．

Answer 1

【答案】探究：（1）見解析；（2）①證明見解析；②MN的最小值是；應(yīng)用：△DEF的周長(zhǎng)的最小值為，畫出符合題意的圖形見解析.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的作法作圖即可；

（2）①利用對(duì)稱的性質(zhì)結(jié)合∠ACB＝90°證明∠MCN＝180°即可；

②由題意可知MN＝2CD，所以當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最小，再利用面積法求解即可；

應(yīng)用：如圖2中，設(shè)D是AB上任意一點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D″，連接D′D″交AC于E，交BC于F，作CH⊥AB于H．由△DEF的周長(zhǎng)＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，推出CD的值最小時(shí)，△DEF的周長(zhǎng)最小，由此即可解決問題.

探究：（1）解：如圖1中，點(diǎn)M，N即為所求；

（2）①證明：連接CD、CM、CN，

由對(duì)稱的性質(zhì)可知：∠ACD＝∠ACM，∠BCD＝∠BCN，

∵∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠MCD+∠NCD＝2（∠ACD+∠BCD）＝180°，

∴M、C、N三點(diǎn)在同一條直線上；

②解：∵CM＝CD，CN＝CD，

∴MN＝CM+CN＝2CD，

∴當(dāng)CD最短時(shí)，MN的值最小，

∵CD⊥AB時(shí)，垂線段最短，

∴CD的最小值＝，

∴MN的最小值是；

應(yīng)用：解：如圖2中，設(shè)D是AB上任意一點(diǎn)，作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D′，點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)D″，連接D′D″交AC于E，交BC于F，作CH⊥AB于H．

由對(duì)稱的性質(zhì)可知：CD＝CD′＝CD″，ED＝ED′，FD＝FD″，∠ACD＝∠ACD′，∠BCD＝∠BCD″，

∴∠D′CD″＝2∠ACB＝60°，

∴△D′CD″是等邊三角形，

∴D′D″＝CD′＝CD，

∵△DEF的周長(zhǎng)＝DE+EF+DF＝D′E+EF+FD″＝D′D″＝CD，

∴CD的值最小時(shí)，△DEF的周長(zhǎng)最小，

所以當(dāng)CD與CH重合時(shí)，CD的值最小，

∵ABCH＝S，即，

∴CH＝，

∴△DEF的周長(zhǎng)的最小值為．