Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）；（3）（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）分類(lèi)討論：當(dāng)CD=DE時(shí)，當(dāng)EC=DE時(shí)，當(dāng)CD=CE時(shí)，根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

（3）根據(jù)題意得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， m2-m-4），根據(jù)梯形的面積公式和三角形的面積公式計(jì)算求出△BDP面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A（-2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，

∴，

解得，

∴該二次函數(shù)的解析式為y=x2-x-4；

（2）在線段BC上是存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形，

由二次函數(shù)y=x2-x-4可知對(duì)稱(chēng)軸x=3，

∴D（3，0）．

∵C（8，0），

∴CD=5．

由二次函數(shù)y=x2-x-4可知B（0，-4）．

設(shè)BC的解析式為y=kx+b，

將B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

，

解得，

BC的解析式為y=x-4．

E在線段BC上，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m， m-4）．

①當(dāng)CD=DE時(shí)，即（m-3）2+（m-4）2=25，解得m1=0，m2=8（不符合題意舍去），

當(dāng)m=0時(shí)， m-4=-4，

∴E1（0，-4）；

②當(dāng)EC=DE時(shí)，（m-8）2+（m-4）2=（m-3）2+（m-4）2，解得m3=，

當(dāng)m=時(shí)， m-4=×-4=-，

∴E2（，-）；

③當(dāng)CD=CE時(shí)，（m-8）2+（m-4）2=25，解得m4=8+2，m5=8-2（不符合題意舍），

當(dāng)m=8+2時(shí)， m-4=，即E3（8+2， ）；

綜上所述：所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為E1（0，-4）； E2（，-）；E3（8+2， ）．

（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m， m2-m-4），

y=m2-m-4=（m-3）2-，

△BDP面積=×（4-m 2+m-4）×m-×3×4-×（m-3）×（-m2+m+4）

=-m2+m=-（m-）2+，

∴當(dāng)m=時(shí)，△BDP面積的最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）．