【題目】如圖,AC平分鈍角∠BAE交過B點的直線于點C,BD平分∠ABC交AC于點D,且∠BAD+∠ABD=90°.
(1)求證:AE∥BC;
(2)點F是射線BC上一動點(點F不與點B,C重合),連接AF,與射線BD相交于點P.
(ⅰ)如圖1,若∠ABC=45°,AF⊥AB,試探究線段BF與CF之間滿足的數(shù)量關(guān)系;
(ⅱ)如圖2,若AB=10,S△ABC=30,∠CAF=∠ABD,求線段BP的長.
【答案】(1)見解析;(2)(。BF=(2+)CF;理由見解析;(ⅱ)BP=.
【解析】
(1)先求出∠BAE+∠ABC=180°,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行,即可證明AE∥BC.
(2)(ⅰ)過點A作AH⊥BC于H,如圖1所示,先證明△ABH、△BAF是等腰直角三角形,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),求證BF=(2+)CF即可.
(ⅱ)①當(dāng)點F在點C的左側(cè)時,作PG⊥AB于G,如圖2所示,先通過三角形面積公式求出AF的長,再根據(jù)勾股定理求得BF、AC、BD的長,證明Rt△BPG≌Rt△BPF(HL),以此得到AD的長,設(shè)AP=x,則PG=PF=6﹣x,利用勾股定理求出AP的長,再利用勾股定理求出PD的長,通過BP=BD﹣PD即可求出線段BP的長.
②當(dāng)點F在點C的右側(cè)時,則∠CAF=∠ACF',P’和F’分別對應(yīng)圖2中的P和F,如圖3所示,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得PD=P'D=,再根據(jù)①中的結(jié)論,可得BP=BP'+ P'P=.
(1)∵AC平分鈍角∠BAE,BD平分∠ABC,
∴∠BAE=2∠BAD,∠ABC=2∠ABD,
∴∠BAE+∠ABC=2(∠BAD+∠ABD)=2×90°=180°,
∴AE∥BC;
(2)解:(。BF=(2+)CF;理由如下:
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴BD⊥AC,
∴∠CBD+∠BCD=90°,
∵∠ABD=∠CBD,
∴∠BAD=∠BCD,
∴AB=BC,
過點A作AH⊥BC于H,如圖1所示:
∵∠ABC=45°,AF⊥AB,
∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形,
∴AH=BH=HF,BC=AB=BH,BF=AB=×BH=2BH,
∴CF=BF﹣BC=2BH﹣BH=(2﹣)BH,
∴BH= =(1+)CF,
∴BF=2(1+)CF=(2+)CF;
(ⅱ)①當(dāng)點F在點C的左側(cè)時,如圖2所示:
同(。┑茫骸BAD=∠BCD,
∴AB=BC=10,
∵∠CAF=∠ABD,∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠BCD+∠CAF=90°,
∴∠AFC=90°,
∴AF⊥BC,
則S△ABC=BCAF=×10×AF=30,
∴AF=6,
∴BF==8,
∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2,
∴AC==2 ,
∵S△ABC=ACBD=×2×BD=30,
∴BD=3,
作PG⊥AB于G,則PG=PF,
在Rt△BPG和Rt△BPF中,
,
∴Rt△BPG≌Rt△BPF(HL),
∴BG=BF=8,
∴AG=AB﹣BG=2,
∵AB=CB,BD⊥AC,
∴AD=CD=AC=,
設(shè)AP=x,則PG=PF=6﹣x,
在Rt△APG中,由勾股定理得:22+(6﹣x)2=x2,
解得:x=,
∴AP=,
∴PD=,
∴BP=BD﹣PD=;
②當(dāng)點F在點C的右側(cè)時,P’和F’分別對應(yīng)圖2中的P和F,如圖3所示 ,則∠CAF=∠CAF',
∵BD⊥AC,
∴
∴∠APD=∠AP'D,
∴△是等腰三角形
∴AP=AP',PD=P'D=,
∴BP=BP'+ P'P=;
綜上所述,線段BP的長為或 .
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,長方形的邊,分別在軸,軸上,點在邊上,將該長方形沿折疊,點恰好落在邊上的點處,若,,則所在直線的表達(dá)式為__________.
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【題目】如圖,在△ABC 中,AD 是 BC 邊上的高,且∠ACB=∠BAD,AE 平分∠CAD,交 BC于點 E,過點 E 作 EF∥AC,分別交 AB、AD 于點 F、G.則下列結(jié)論:①∠BAC=90°;②∠AEF=∠BEF; ③∠BAE=∠BEA; ④∠B=2∠AEF,其中正確的有( )
A. 4 個B. 3 個C. 2 個D. 1 個
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(﹣3,5),B(﹣2,1),C(﹣1,3).
(1)若△ABC經(jīng)過平移后得到,已知點的坐標(biāo)為(4,0),寫出頂點,的坐標(biāo);
(2)若△ABC和關(guān)于原點O成中心對稱圖形,寫出的各頂點的坐標(biāo);
(3)將△ABC繞著點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到,寫出的各頂點的坐標(biāo).
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【題目】矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點B的坐標(biāo)為(3,4),點D的坐標(biāo)為(2,0),E為AB上的點,當(dāng)△CDE的周長最小時,點E的坐標(biāo)為( 。
A. (1,3) B. (3,1) C. (4,1) D. (3,2)
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【題目】如圖,已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(﹣3,﹣3).
(1)求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)把直線OA向上平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點B(﹣6,m),與x軸交于點C,求m的值和直線BC的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,直線BC與y軸交于點D,求以點A,B,D為頂點的三角形的面積;
(4)在(3)的條件下,點A,B,D在二次函數(shù)的圖象上,試判斷該二次函數(shù)在第三象限內(nèi)的圖象上是否存在一點E,使四邊形OECD的面積S1與四邊形OABD的面積S滿足:S1=S?若存在,求點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,點是的角平分線上一點,于點,點是線段上一點.已知,,點為上一點.若滿足,則的長度為( )
A.3B.5C.5和7D.3或7
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【題目】如圖1,Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D是BC邊的中點連接AD,則易證AD=BD=CD,即AD=BC;如圖2,若將題中AB=AC這個條件刪去,此時AD仍然等于BC.
理由如下:延長AD到H,使得AH=2AD,連接CH,先證得△ABD≌△CHD,此時若能證得△ABC≌△CHA,
即可證得AH=BC,此時AD=BC,由此可見倍長過中點的線段是我們?nèi)切巫C明中常用的方法.
(1)請你先證明△ABC≌△CHA,并用一句話總結(jié)題中的結(jié)論;
(2)現(xiàn)將圖1中△ABC折疊(如圖3),點A與點D重合,折痕為EF,此時不難看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形.BE=DE,CF=DF.由勾股定理可知DE2+DF2=EF2,因此BE2+CF2=EF2,若圖2中△ABC也進行這樣的折疊(如圖4),此時線段BE、CF、EF還有這樣的關(guān)系式嗎?若有,請證明;若沒有,請舉反例.
(3)在(2)的條件下,將圖3中的△DEF繞著點D旋轉(zhuǎn)(如圖5),射線DE、DF分別交AB、AC于點E、F,此時(2)中結(jié)論還成立嗎?請說明理由.圖4中的△DEF也這樣旋轉(zhuǎn)(如圖6),直接寫出上面的關(guān)系式是否成立.
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【題目】如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四邊形DEFG為矩形,DE=2cm,EF=6cm,且點C、B、E、F在同一條直線上,點B與點E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當(dāng)點C與點F重合時停止.設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運動時間xs.能反映ycm2與xs之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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